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Geschwindigkeit von Elektronen

Elektron, Elektronengeschwindigkeit, Geschwindigkeit, elektrische Leiter, Metall, Material

Wie schnell sind Elektronen?

Bei der Beantwortung der Frage müssen wir unterscheiden, in welchem Medium sich die Elektronen bewegen. Dabei können wir folgende Fälle unterscheiden:

Elektronen in elektrischen Leitern

Bei der Betrachtung der Geschwindigkeit der Elektronen wird es im Folgenden um die gerichtete Bewegung von Elektronen im elektrischen Feld gehen. Die thermische Bewegung der Elektronen bleibt hier unberücksichtigt.

Die Geschwindigkeit der Elektronen in einem Leiter ist vom Querschnitt des Leiters, dem Material und der Stromstärke abhängig.

Die Elektronen bewegen sich im Leiter mit der Geschwindigkeit v. Jedes Elektron trägt die Elementarladung e.

Hinweis: Bevor du hier weiterliest, gib eine Schätzung zur Geschwindigkeit der Elektronen in elektrischen Leitungen ab. 

Leiter und Elektronenbewegung

Laut Definition gibt die Stromstärke I an. wie viele Ladungen Q sich pro Zeiteinheit Δt durch einen Leiterquerschnitt bewegen.

Elektronengggeschwindigkeit in Kufper
01 Elektronenbewegung

Statt der Anzahl der Ladungsträger N ersetzen wir hier durch die Ladungsträgerdicht n bzw. in diesem speziellen Fall, die Elektronendichte n.

Bei den folgenden Darstellungen besteht die Gefahr das Volumen V mit der Geschwindigkeit v zu verwechseln. Daher bitte genau darauf achten, ob in der Gleichung V oder v steht.

{\large\displaystyle Elektronendichte\,\,n=\frac{Anzahl\,\,der\,\,Elektronen\,\,\,N}{Volumen\,\,des\,\,Leiters\,\,\,\,V}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=\frac{N}{V}  }

{\large   \left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N=n\cdot V\\\\V=A\cdot s\end{array} \right\}N=n\cdot A\cdot s\\\\v=\frac{I\cdot s}{N\cdot e}\end{array} \right\}v=\frac{I\cdot s}{N\cdot e}=\frac{I\cdot s}{n\cdot A\cdot s\cdot e}=\frac{I}{n\cdot A\cdot e} }

 

Elektronengeschwindigkeit - Geometrie Leiter
02 Elektronendichte

Wie groß ist die Dichte der freien Elektronen?

In Leitern wie Kupfer können wir annehmen, dass pro Atom ein freies Elektron verfügbar ist.

1 mol Cu hat die Masse 64 g.

Pro 1 mol befinden sich 6,02·1023 Atome (Avogadro).

Daraus ergibt sich, dass in 64 g Kupfer 6,02·1023 freie Elektronen existieren.

Der Formelsammlung oder dem PSE können wir die Dichte von Kupfer entnehmen.

{\large {{\rho }_{Cu}}=8,96\,\frac{kg}{d{{m}^{3}}}=8,96\,\frac{g}{c{{m}^{3}}}  }

Auszug aus dem PSE - Kupfer (Cu)
03 Auszug PSE

{\large \rho =\frac{m}{V}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,V=\frac{m}{\rho }\,=\,\frac{64\,g\,\,\,\,\,\,\,c{{m}^{3}}}{8,96\,g}=7,14\,c{{m}^{3}}  }

Damit können wir die Elektronen Dichte berechnen:

{\large n=\frac{N}{V}=\frac{6,02\cdot {{10}^{23}}}{7,14\,\,c{{m}^{3}}}=8,4\,\cdot \,{{10}^{22}}\frac{1}{c{{m}^{3}}}=8,4\,\cdot \,{{10}^{28}}\frac{1}{{{m}^{3}}} }

zur Geschwindigkeit der Elektronen

Annahme: A=1,0 mm2; I=1 A

{\large  \begin{array}{l}geg.:\,\,\,\,A=1\,m{{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,ges.:\,v\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I=\,1\,A\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{n}_{Cu}}=8,4\cdot {{10}^{28}}\frac{1}{{{m}^{3}}}\end{array}}

{\large v=\frac{I}{n\cdot A\cdot e}=\frac{1\,\,A\,\,\,{{m}^{3}}}{8,4\cdot {{10}^{28}}\cdot {{10}^{-6}}\,\,{{m}^{2}}\cdot 1,6\,\cdot {{10}^{-19}}\,A\,\,s}=7,4\cdot {{10}^{-5}}\,\frac{m}{s}=74\,\frac{\mu m}{s} }

Im Kupferleiter mit dem Querschnitt 1 mm2 bewegen sich die Elektronen mit einer Geschwindigkeit von 74 µm/s, wenn ein Strom von 1 A fließt. Das ist sicher deutlich langsamer, als erwartet. 

Weitere Berechnungen

Die oben angestellte Berechnung basierte auf den physikalisch-chemischen Eigenschaften der Leiter. Du kannst die Geschwindigkeit der Elektronen aber auch mit den Erkenntnissen aus dem HALL-Effekt berechnen. Ein Beispiel dazu findest du hier.

Elektronen im Vakuum

Die Geschwindigkeit von Elektronen im Vakuum lässt sich sehr einfach berechnen. Die Elektronen werden in einem elektrischen Feld zwischen Kathode und Anode beschleunigt. Dabei wird die elektrische Energie Eel in Bewegungsenergie Ekin umgewandelt.

{\large\begin{array}{l}{{E}_{el}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,{{E}_{kin}}\\q\cdot U=\frac{1}{2}m\cdot {{v}^{2}}\end{array} }

Da wir die Geschwindigkeit der Elektronen berechnen wollen, ist die Ladung gleich der Elementarladung und die Masse gleich der Elektronenmasse. Diese setzen wir in die obige Gleichung ein.

{\large\begin{array}{l}e\cdot U=\frac{1}{2}{{m}_{e}}\cdot {{v}^{2}}\\\\v=\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{{{m}_{e}}}}\end{array} }

Die Herleitung dieser Gleichung ist extrem Klausur- und Abiturrelevant, da sie in den Semestern 1, 3 und 4 für verschiedene Experimente von Bedeutung ist. Einige Beispiele dafür sind: