HALL – Effekt
Halleffekt, Hall-Effekt, Querspannung, Magnetfeld, Lorentzkraft, bewegte Ladungen, Geschwindigkeit der Elektronen, Messung der magnetischen Flussdichte
Auf bewegte Ladungen wirkt im Magnetfeld die Lorentzkraft. Der Halleffekt beschreibt den Zusammenhang von magnetischer Flussdichte, Stromfluss und der entstehenden Ladungsträgerdifferenz. Die dabei auftretende Querspannung beschreibt der HALL Effekt.
Experiment – Aufbau
Herzstück des Experimentes ist die HALL-Grundplatte. Zwischen zwei Metallblöcken ist eine Silberfolie eingespannt, deren Enden mit den Buchsen (rot/blau) verbunden sind. An die Buchsen (rot und blau) wird über ein Potentiometer eine Spannung angelegt. Der Stromfluss wird über das Potentiometer reguliert und über ein Amperemeter (10 A) gemessen.
Mit Hilfe der beiden Spulen und dem Eisenkern wird ein regelbares Magnetfeld erzeugt. Dieses Magnetfeld ist senkrecht zur Silberfolie gerichtet.
Am oberen und unteren Rand der Folie ist jeweils ein Draht angelötet. Die Drahtenden sind mit den grauen Buchsen verbunden.
Auf bewegte Ladungsträger wirkt im Magnetfeld die LORENTZkraft.
Das gilt auch für die frei beweglichen Ladungsträger in der Silberfolie. Wenn der Strom, wie in der Schaltung gegeben, von links nach rechts fließt und das Magnetfeld aus der Ebene heraustritt, dass wirkt die LORENTZkraft nach oben.
Verschiedene Richtungen von Magnetfeld und Stromfluss
Solange kein Magnetfeld anliegt, fließen die Elektronen weitgehend gleichverteilt durch die Silberfolie.
Elektronen sind negativ geladen, sie tragen die Elementarladung e=-1,60·10-19 C
Gleiche Ladungen stoßen sich gegenseitig ab.
Wenn ein Magnetfeld die Silberfolie senkrecht durchsetzt, dann wirken die Lorentzkräfte auf die Elektronen. Je nach Richtung von Magnetfeld und Strom, kommt es am oberen oder unteren Rand der Silberfolie zu einer Elektronenverdichtung, oder einem Elektronenmangel.
Die dabei auftretende Ladungsträgerdifferenz kann als Spannung gemessen werden.
Diese, quer zum Leiter auftretende Spannung UH wird als Querspannung bzw. Hall-Spannung bezeichnet. Das Auftreten dieser Querspannung wird als HALL-Effekt bezeichnet.
Wovon ist die Querspannung abhängig?
UH = f(I) und UH = f(B)
{\large\left. \begin{array}{l}{{U}_{H}}\,\sim \,B\\\\{{U}_{H}}\,\sim \,I\end{array} \right\}{{U}_{H}}\,\sim \,B\cdot I}
Der hier vorausgesetzte Zusammengang wird weiter unten auf dieser Seite experimentell bestätigt.
Was veranlasst die Ladungsträger bei einem schwächeren Strom oder einem schwächeren Magnetfeld ihre Verdichtung aufzugeben?
Zwischen den Elektronen wirken elektrostatische Abstoßungskräfte. Es stellt sich also ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft und der elektrostatischen Abstoßung ein. Es gilt:
{\large\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{{{F}_{L}}}\,\,\,=\,\,-\overrightarrow{{{F}_{el}}} }
Da wir hier ein Gleichgewicht suchen, können wir auf die Vorzeichen verzichten.
{\large\displaystyle e\cdot v\cdot B\,=\,e\cdot {{E}_{H}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \overrightarrow{v}\,\bot \,\overrightarrow{B} \right) }
EH ist das durch die Hall-Spannung erzeugte Magnetfeld. Die Breite der Silberfolie bezeichnen wir mit b.
Aus E = U/d folgt dann
{\large \displaystyle \begin{array}{l}e\cdot v\cdot B\,=\,e\cdot {{E}_{H}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( allg .\,\,\,\,E=\frac{U}{d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,v\cdot B\,=\,\frac{{{U}_{H}}}{b}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( U\,=\,{{U}_{H}}\,\,und\,\,d=b \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,v\,=\,\frac{{{U}_{H}}}{b\,\cdot \,B}\end{array} }
v entspricht der mittleren Geschwindigkeit der Elektronen. Wenn die Hall-Spannung, die magnetische Flussdichte und die Breite der Silberfolie bekannt sind, dann können wir die Geschwindigkeit der Elektronen berechnen.
Messwerte
Da wir die magnetische Flussdichte B während des Experimentes nicht parallel zur Hall-Spannung messen können, nutzten wir eine Kalibrierkurve. Dabei wird vor dem Experiment die magnetische Flussdichte B in Abhängigkeit von Spulenstrom aufgenommen.
Mit Hilfe der Kalibrierkurve können wir jetzt die magnetische Flussdichte B in Abhängigkeit vom Spulenstrom ISpule bestimmen.
Je größer der Strom, desto stärker das Magnetfeld, das ihn umgibt. Dieser Zusammenhang ist für Das Magnetfeld B0 auch linear. Zur Verstärkung des Magnetfeldes wird hier aber ein Eisenkern genutzt. Der Eisenkern verstärkt das Magnetfeld B0 im ersten Teil auch um mehr als das Tausendfache. Das passiert durch die Magnetisierung des Magnetkerns. Die dabei eintretende Sättigung ist an der Hysterese Kurve zu erkennen. Unter dem Link gibt es eine umfassende Erklärung dazu.
Abhängigkeit der Hall-Spannung vom Strom
Bei einem Spulenstrom von 2 A beträgt die magnetische Flussdichte 310 mT.
Die Regression liefert die Gleichung y=0,746x-0,0227 bei einer Korrelation von R2 = 0,996.
Die Verschiebung um den y-Achsenabschnitt -0,0227 können wir vernachlässigen. Dieser Wert ist physikalisch nicht sinnvoll und so klein, dass er im Vergleich zu den Messwerten gegen Null strebt. Wenn kein Strom durch die Silberfolie fließt, dann tritt auch keine Querspannung auf.
Übersetzung der Regressionsgleichung in die Physik:
U(I) = 0,746 [c] · I
Dabei muss c die Einheit 1 V/A haben.
Wir stellen fest: UH ~ I
Abhängigkeit der Hall-Spannung von der magnetischen Flussdichte
Die Regression liefert die Gleichung y=0,0167·x-0,0667 bei einer Korrelation von R2 = 0,9996
Die Verschiebung um den y-Achsenabschnitt -0,0667 können wir vernachlässigen. Dieser Wert ist physikalisch nicht sinnvoll und so klein, dass er im Vergleich zu den Messwerten gegen Null strebt. Wenn kein Magnetfeld die Silberfolie durchsetzt, dann wirken auch keine Lorentzkräfte. Die Querspannung muss Null sein.
Übersetzung der Regressionsgleichung in die Physik:
U(I) = 0,0167 [k] · B
Dabei muss k die Einheit 1 V/T haben.
Dicke d der Silberfolie
Eine Größe, die wir im betrachteten Experiment nicht untersuchen konnten, ist die Dicke d der Silberfolie. Es gilt:
{\large {{U}_{H}}\,\sim \,\frac{1}{d}}
Die Hall-Spannung UH ist antiproportional zur Dicke d des Leiters. Damit gilt:
{\large {{U}_{H}}\,\sim \,\frac{I\,\cdot \,B}{d}}
Der Proportionalitätsfaktor ist die Hall-Konstante RH. Die Hall-Konstante ist vom Material des Leiters abhängig.
{\large{{U}_{H}}\,=\,{{R}_{H}}\,\cdot \frac{I\,\cdot \,B}{d}}
Einheit der Hall-Konstante
Die Hall-Konstante ist eine materialabhängige Größe.
- d – Dicke der Folie
- b – Breite der Folie
Der Strom gibt an, wie viele Ladungsträger N pro Zeit t durch einen Leiterquerschnitt A fließen.
Die Ladungsträger tragen die Ladung e und bewegen sich mit der Geschwindigkeit v.
{\large I\,=\,\frac{N}{V}\,\cdot \,e\cdot A\cdot v }
Wir ersetzen die Anzahl der Ladungsträger durch die Ladungsträgerdichte n.
{\large\begin{array}{l}\,\,\,\,n\,=\,\frac{N}{V}\,\,\\\left. \begin{array}{l}I\,=\,n\cdot e\cdot A\cdot v\\A\,=\,d\cdot \,b\end{array} \right\}\,I\,=\,n\cdot v\cdot e\cdot d\cdot b\end{array} }
Für die Geschwindigkeit der Elektronen folgt dann:
{\large v=\frac{I}{n\cdot e\cdot d\cdot b} }
Wir hatten bereits gezeigt, dass
{\large \begin{array}{l}v=\frac{{{U}_{H}}}{b\cdot B}\,\,\,\,und\,\,\,v=\frac{I}{n\cdot e\cdot b\cdot b}\\\\\frac{{{U}_{H}}}{b\cdot B}\,=\,\frac{I}{n\cdot e\cdot b\cdot d}\\\\{{U}_{H}}\,=\,\frac{I}{n\cdot e\cdot B\cdot d}\,=\,\overbrace{\frac{1}{n\cdot \,e}}^{{{R}_{H}}}\,\cdot \frac{I}{B\cdot d}\\\\{{U}_{H}}\,={{R}_{H}}\,\cdot \frac{I\cdot B}{d}\end{array}}
RH – Hallkonstante {\large{{R}_{H}}=\frac{1}{n\cdot e} }
Je geringer die Ladungsträgerdichte, desto größer die Hall-Spannung.
einige Hallkonstanten
Wie „schnell“ bewegen sich die Elektronen in einer Leitung?
Um die Frage zu klären müssen wir einige Voraussetzungen schaffen. Wir betrachten dafür ein konkretes Beispiel, eine Kaffeemaschine.
- Material der Leiter – Kupfer
- Leiterquerschnitt (Netzkabel) 1,5 mm2(=1,5·10-6 m2)
- Stromstärke – wir betrachten eine Kaffeemaschine (1000W, 240V)
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Kaffeemaschine mit einer Gleichspannung betrieben wird, da in Wechselstromkreisen die Elektronen nur um einen Platz schwingen.
{\large \begin{array}{l}P\,=\,U\cdot I\\\\I\,=\,\frac{P}{U}\,=\,\frac{1000\,W}{230\,V}\,=\,4,3\,A\end{array} }
Es fließt ein Strom von 4,3 A.
{\large \begin{array}{l}I\,=n\cdot e\cdot A\cdot v\,\,\,\,\,\,\,{{R}_{H}}=\frac{1}{n\cdot e}\\\\v=\frac{I}{A}\cdot {{R}_{H}}\\\\v\,=\,\frac{4,3\,A}{1,5\,\cdot {{10}^{-6}}\,{{m}^{2}}}\,\cdot 5,2\cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{m}^{3}}}{C}\,\,\,\,\,\,\,\,v\,=\,1,5\cdot {{10}^{-4}}\,\frac{m}{s}\end{array} }
Einheitenbetrachtung:
{\large \begin{array}{l}\left[ v=\frac{I}{A}\cdot {{R}_{H}} \right]\\\left[ v \right]\,=\,1\,\frac{A}{{{m}^{2}}\,}\cdot \frac{{{m}^{3}}}{C}\,=\,\,\frac{A}{1\,}\cdot \frac{m}{As}\\\left[ v \right]\,=1\,\frac{m}{s}\end{array} }
Die Elektronen bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von 0,15 mm/s.
Hall-Effekt in Messgeräten
Im dem hier dargestellten Versuch ging es darum, den Hall Effekt zu zeigen und messtechnisch auszuwerten. Dabei haben wir sehr große Ströme von bis zu 10 A benötigt. In Messgeräten können so große Ströme i.d.R. nicht bereitgestellt werden. Daher ersetzt man hier die Silberfolie durch einen Halbleiter. In Halbleitern existieren deutlich weniger freie Ladungsträger. Die Ladungsträgerdichte ist um 5 bis 8 Zehnerpotenzen kleiner.
Bei der Verwendung geeigneter Halbleitermaterialien kann der Strom so weit reduziert werden, dass selbst Messungen kleinster Magnetfelder mit dem Smartphone möglich sind.
Bei der Verwendung geeigneter Halbleitermaterialien kann der Strom so weit reduziert werden, dass selbst Messungen kleinster Magnetfelder mit dem Smartphone möglich sind.
Die Abbildung zeigt den Screenshot eines Smartphones. Angezeigt werden hier die Komponenten des Erdmagnetfeldes.
