Zuordnungen – proportional und antiproportional

Es gibt verschiedene Arten von Zuordnungen. Diese Seite wird die proportionale und die antiproportionale Zuordnung beschreiben.

Statt dem Begriff antiproportional werden in einigen Büchern auch die Begriffe “umgekehrt” oder “indirekt” benutzt.

proportionale Zuordnungen

Beispiel:

Eine elektrische Eisenbahn rollt langsam mit konstanter Geschwindigkeit über die Schienen. Dabei wird jede Sekunde die neue Position der Bahn markiert.

Alle Messwerte liegen auf einer Gerade, die durch den Ursprung verläuft. – Ursprungsgerade

An den Messwerten erkennen wir, in doppelter Zeit werden doppelte Strecken zurückgelegt.

Wir können die Messwerte auch rechnerisch vergleichen. Dafür berechnen wir für jedes Messwertpaar den Quotienten (Ausnahme 0;0)

Der Quotient ändert sich nicht. – quotientengleich

Wenn Messwerte in einem solchen Zusammenhang stehen, dann nennen wir das proportional.

    t~s 

Zwei Größen verhalten sich proportional zueinander, wenn:

  • der Graph eine Ursprungsgerad ist
  • zugehörige Wertepaare sind quotientengleich

Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist, dann ist auch die andere Bedingung erfüllt. Wir müssen also nur eine der Bedingungen prüfen.

Exkurs – Physik

Wenn s ~ t, dann gilt:

{\frac{s}{t} = konstant}

Es existiert ein Proportionalitätsfaktor. Das ist in diesem Fall die Geschwindigkeit v.

{v=\frac{s}{t}}

In der Realität werden die Messwerte nicht auf einer Geraden liegen, denn jeder Messwert ist mit einem Fehler behaftet. Wie du mit solchen Messwerten umgehst und ob es möglich ist, eine Ausgleichsgerade zu zeichnen, das erfährst du hier:   [LINK-folgt]

antiproportionale Zuordnungen

Beispiel:

Wir wählen ein ähnliches Experiment wie im Beispiel oben.

Die elektrische Eisenbahn soll eine Strecke von 1 m zurücklegen. Wir variieren die Geschwindigkeit der Eisenbahn und stoppen die dafür benötigte Zeit.

Hinweis zum Diagramm: In den meisten Fällen wird die Größe die wir verändern auf der Abszisse und die Größe die wir Messen auf der Ordinate abgetragen. Es gibt aber eine Ausnahme. Die Zeit wird immer auf der Abszisse abgetragen.

Je größer die Geschwindigkeit, desto kürzer die benötigte Zeit. Wenn wir die Messwerte rechnerisch vergleichen, dann stellen wir fest, dass die Produkte von Geschwindigkeit und zugehöriger Zeit jeweils gleich sind. Die Messwerte sind produktgleich.

Die Messwerte liegen nicht auf einer Geraden. Diese spezielle Form des Grafen nennen wir HYPERBEL.

Wenn Messwerte in einem solchen Zusammenhang stehen, dann nennen wir das antiproportional.

{v \sim \frac{1}{t}}

Zwei Größen verhalten sich antiproportional zueinander, wenn:

  • der Graph eine Hyperbel ist
  • zugehörige Wertepaare sind produktgleich

Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist, dann ist auch die andere Bedingung erfüllt. Wir müssen also nur eine der Bedingungen prüfen.

Wenn {v \sim \frac{1}{t}} , dann gilt: v · t = konstant

Diese Konstante ist der zurückgelegte Weg s.

s = v · t