Zuordnungen – proportional und antiproportional
Es gibt verschiedene Arten von Zuordnungen. Diese Seite wird die proportionale und die antiproportionale Zuordnung beschreiben.
Statt dem Begriff antiproportional werden in einigen Büchern auch die Begriffe „umgekehrt“ oder „indirekt“ benutzt.
proportionale Zuordnungen
Beispiel:
Eine elektrische Eisenbahn rollt langsam mit konstanter Geschwindigkeit über die Schienen. Dabei wird jede Sekunde die neue Position der Bahn markiert.
Alle Messwerte liegen auf einer Gerade, die durch den Ursprung verläuft. – Ursprungsgerade
An den Messwerten erkennen wir, in doppelter Zeit werden doppelte Strecken zurückgelegt.
Wir können die Messwerte auch rechnerisch vergleichen. Dafür berechnen wir für jedes Messwertpaar den Quotienten (Ausnahme 0;0)
Der Quotient ändert sich nicht. – quotientengleich
Wenn Messwerte in einem solchen Zusammenhang stehen, dann nennen wir das proportional.
t~s
Zwei Größen verhalten sich proportional zueinander, wenn:
- der Graph eine Ursprungsgerad ist
- zugehörige Wertepaare sind quotientengleich
Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist, dann ist auch die andere Bedingung erfüllt. Wir müssen also nur eine der Bedingungen prüfen.
Exkurs – Physik
Wenn s ~ t, dann gilt:
{\frac{s}{t} = konstant}
Es existiert ein Proportionalitätsfaktor. Das ist in diesem Fall die Geschwindigkeit v.
{v=\frac{s}{t}}
In der Realität werden die Messwerte nicht auf einer Geraden liegen, denn jeder Messwert ist mit einem Fehler behaftet. Wie du mit solchen Messwerten umgehst und ob es möglich ist, eine Ausgleichsgerade zu zeichnen, das erfährst du hier: [LINK-folgt]
antiproportionale Zuordnungen
Beispiel:
Wir wählen ein ähnliches Experiment wie im Beispiel oben.
Die elektrische Eisenbahn soll eine Strecke von 1 m zurücklegen. Wir variieren die Geschwindigkeit der Eisenbahn und stoppen die dafür benötigte Zeit.
Je größer die Geschwindigkeit, desto kürzer die benötigte Zeit. Wenn wir die Messwerte rechnerisch vergleichen, dann stellen wir fest, dass die Produkte von Geschwindigkeit und zugehöriger Zeit jeweils gleich sind. Die Messwerte sind produktgleich.
Die Messwerte liegen nicht auf einer Geraden. Diese spezielle Form des Grafen nennen wir HYPERBEL.
Wenn Messwerte in einem solchen Zusammenhang stehen, dann nennen wir das antiproportional.
{v \sim \frac{1}{t}}
Zwei Größen verhalten sich antiproportional zueinander, wenn:
- der Graph eine Hyperbel ist
- zugehörige Wertepaare sind produktgleich
Wenn eine der Bedingungen erfüllt ist, dann ist auch die andere Bedingung erfüllt. Wir müssen also nur eine der Bedingungen prüfen.
Wenn {v \sim \frac{1}{t}} , dann gilt: v · t = konstant
Diese Konstante ist der zurückgelegte Weg s.
s = v · t