deBroglie – Welleneigenschaften der Elektronen

Aus Experimenten wie dem Photoeffekt und dem Compton-Effekt war bereits bekannt, dass das Licht Wellen und Teilcheneigenschaften aufweist.

1923 postulierte der französische Physiker Prinz Louis de Broglie in seiner Doktorarbeit:

Wenn Licht Wellen- und Teilcheneigenschaften aufweist, dann trifft das vermutlich auch für Elektronen zu.

De Broglie stellte zwischen den Teilchengrößen Energie E und Impuls p den Wellengrößen Frequenz f und Wellenlänge λ einen Zusammenhang her.

{\large \left( I \right)E\,=\,h\cdot \,f\,\,\,und\,\,\left( II \right)\,p\,=\,\frac{h}{{{\lambda }_{D}}}; \,\,\,\,\,\,{{\lambda }_{D}}-de\,Broglie\,-\,Wellenl\ddot{a}nge}

Gleichung 1 ist vom Photoeffekt bekannt. Gleichung 2 sieht zunächst befremdlich aus. Der Impuls p ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. p=m·v

Aber:

  • Welche Masse hat ein Photon?
  • Welche Masse hat Licht?
  • Welche Wellenlänge hat ein Elektron?

Das sind sicher die ersten Fragen, die bei der Betrachtung der Formeln und der Verbindung der Wellen- und Teilchengrößen auftreten.

Das Problem steckt hier in den Fragen. Die Fragen implizieren eine „klassische Einteilung, sie sehen das Licht als Welle und das Elektron als Teilchen. In den vorangegangenen Versuchen haben wir gesehen, das Licht sowohl Wellen-, als auch Teilcheneigenschaften aufweist. Mit Licht und Elektronen betrachten wir Quantenobjekte. Diese Quantenobjekte weisen Wellen- und Teicheneigenschaften auf.

Die von de Broglie postulierte Wellenlänge der Elektronen, die de Broglie-Wellenlänge λD, weist dabei einem Quantenobjekt, wie einem Elektron, eine Wellenlänge und einem Quantenobjekt, wie einem Photon, eine Masse zu.

Zur Berechnung der de Broglie Wellenlänge

Ausgehend von den postulierten Gleichungen…

… stellen wir Gleichung 2 nach λ um und setzen für den Impuls p=m·v ein.

Da wir hier Elektronen betrachten, gilt für die Größen m und v:

  • m=me
  • v=ve

Bei der Berechnung der Elektronengeschwindigkeit werden relativistische Einflüsse vernachlässigt.

Ausgehend von der Formel für die kinetische Energie, wenden wir einen mathematischen Trick an, wir multiplizieren die Energie mit 1, „einer geschickten 1“. 

Durch diesen Trick, können wir die Quadrate von Masse und Geschwindigkeit, durch den Impuls ersetzen.

Diesen Impuls können wir in Gleichung 2 einsetzen.

{\huge {{\lambda }_{D}}\,=\,\frac{h}{\sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,{{E}_{kin}}}}\left( 4 \right)}

Um seine Hypothese zu bestätigen, plante de Broglie ein Experiment, bei dem ein Elektronenstrahl einen schmalen Spalt passieren musste.

  1. Wenn Elektronen Welleneigenschaften aufweisen, dann sollte hinter dem Spalt ein Beugungsmuster zu beobachten sein.
  2. Der Spalt muss hinreichend klein sein, seine Breite muss in der Größenordnung der Wellenlänge liegen, die den Elektronen zuzuschreiben ist.

1927 wurden de Broglis Hypothesen experimentell bestätigt. Eine Beschreibung des Versuchs befindet sich hier:

Wir werden im Folgenden einen etwas anderen Aufbau wählen.

Ein Elektronenstrahl wird auf ein Graphitkristall gerichtet. Wenn der Kristall einen geeigneten Netzebenenabstand hat, dann müsste nach de Broglie ein Interferenzmuster entstehen.

Elektronenbeugung nach de Broglie

Der Elektronenstrahl trifft auf eine Graphitfolie und wird dort an den verschiedenen Ebenen der Kristalle reflektiert. Die reflektierten Elektronen treffen dann auf einen fluoreszierenden Schirm. Auf dem Schirm können wir verschiedene Ringe beobachten. Es gilt:

Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner der Radius der Ringe.

Zunächst werden wir die beobachtete Interferenz klären. Die Entstehung der Kreise wird im 2. Teil erklärt.

Der hexagonal aufgebaute Graphitkristall hat die Netzebenenabstände d1=213 pm und d2=123 pm.

Radius der Ringe

Bei der Messung der Ringdurchmesser müssen wir zwischen r und r‘ unterscheiden. Welchen dieser Radien können wir im Experiment wirklich messen?

Es gibt im Netz und auch in den Physikbüchern verschiedene Ansätze. Einige wählen den Radius r, andere den Radius r‘. Letzteres ergibt sich aus einer Projektion auf eine Ebene, die senkrecht zur eingezeichneten Achse verläuft.

Da wir im Experiment die Radien über die Kreisdurchmesser mit Messschieber messen werden, können wir den Radius r berechnen.

{ \sin \left( 2\alpha \right)=\frac{r}{L}}

Nach der Kleinwinkelnäherung gilt: { n\cdot \lambda =2\cdot d\cdot \sin \left( \alpha \right)}

Nach BRAGG gilt: {n\cdot \lambda =2\cdot d\cdot \sin \left( \alpha \right)}

{\begin{array}{l}\left( 5 \right)\,2\cdot \sin \left( \alpha \right)\,=\,\frac{r}{L}\\\\\left( 6 \right)\,n\cdot \lambda =d\cdot 2\cdot \sin \left( \alpha \right)\end{array}}

Die Einsetzung von Gleichung (5) in Gleichung (6) liefert:

{\begin{array}{l}n\cdot \lambda =\,d\cdot \frac{r}{L}\\\\\,\,\,\,\lambda \,\,\,=\,\frac{d\cdot r}{n\cdot L}\,\,\, \,\, (7)\end{array}}

Gleichsetzen der Gleichungen (4) und (7)

{\displaystyle \begin{array}{l}\left( 4 \right)\,\,{{\lambda }_{D}}\,=\,\frac{h}{\sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,{{E}_{kin}}}}\\\\\frac{d\cdot r}{n\cdot L}=\frac{h}{\sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,{{E}_{kin}}}}\\\\\,\,\,\,\,r\,\,=\,\frac{h\,\cdot n\,\cdot \,L}{d\cdot \sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,{{E}_{kin}}}}\end{array}}

Die Elektronen erhalten ihre kinetische Energie durch die Beschleunigung im elektrischen Feld

{\begin{array}{l}{{E}_{kin}}\,=\,{{E}_{el}}\\{{E}_{el}}\,=\,e\cdot {{U}_{B}}\end{array}}

{\huge \displaystyle r\,\,=\,\frac{h\,\cdot n\,\cdot \,L}{d\cdot \sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,e\cdot {{U}_{B}}}}\left( 8 \right)}

Die Gleichung (8) können wir experimentell nutzen.

zu messende Größen

  • r – Radius der Kreisringe
  • n – Ordnung der Maxima
  • UB – anliegende Beschleunigungsspannung

experimentelle Parameter (bei der hier genutzten Röhre beträgt der Abstand L=13,5 cm lt. Hersteller)

  • L – Abstand Kristall-Schirm

Konstanten

  • me – Masse Elektron
  • e – Ladung Elektron
  • h – PLANCKsches Wirkungsquantum

Die folgenden Fotos zeigen die Elektronenbeugungsröhre bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen. Die Ringe unterstützen die Vermutung, dass es sich um ein Interferenzmuster handelt. Um das zu überprüfen, müssen wir:

  1. Nachweisen, dass der von de Broglie postulierte Zusammenhang, mit den experimentell ermittelten Werten übereinstimmt.
  2. Nachweisen, dass die beobachteten Ringe tatsächlich auf einen Elektronenstrahl zurückzuführen sind.
  3. Eine Erklärung für die Ringstruktur finden.

In der folgenden Animation kannst du die Beschleunigungsspannung ändern und den Abstand L anpassen. Die Animation soll dabei kein Ersatz für das reale Experiment sein, sie soll nur die Möglichkeit geben, einige Überlegungen und Variationen am Experiment auch außerhalb des Physikraums zu wiederholen und zu überprüfen.

Nachweisen, dass der von de Broglie postulierte Zusammenhang mit den experimentell ermittelten Werten übereinstimmt.

Im Experiment wurden die folgenden Messwerte aufgenommen:

Wie können wir die verschiedenen Radien interpretieren?

Ausgehend von den Gleichungen (4) und (8) können wir überprüfen, ob die Messwerte mit den Erwartungen von de Broglie übereinstimmen.

{\displaystyle \begin{array}{l}r\,\,=\,\frac{h\,\cdot n\,\cdot \,L}{d\cdot \sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,e\cdot {{U}_{B}}}}\left( 8 \right)\\\\d\,\,=\,\frac{h\,\cdot n\,\cdot \,L}{{{r}_{n}}\cdot \sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,e\cdot {{U}_{B}}}}\left( 8′ \right)\\\\{{\lambda }_{D}}\,=\,\frac{h}{\sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,e\cdot {{U}_{B}}}}\left( 4 \right)\end{array}}

Als erstes werden wir aus Messreihe den Netzebenenabstand mit dem Radius r1 prüfen.

für Messreihe 1:

  • d(r=3,46 cm, n=1) = 123 pm
  • d((r=4,01 cm; n=1) = 106 pm      d((r=4,01 cm; n=2) = 231 pm

für Messreihe 2

  • d(r=1,42 cm, n=1) = 212 pm
  • d((r=2,45 cm; n=1) = 123 pm
  •  d((r=2,82 cm; n=1) = 107 pm;     d((r=2,82 cm; n=2) = 214 pm
  • d((r=4,24 cm; n=1) = 71 pm;         d((r=4,24 cm; n=2) = 142 pm;      d((r=4,24 cm; n=3) = 213 pm

Die Messergebnisse zeigen, dass die berechneten Werte für die Netzebenenabstände mit den tatsächelichen Abständen eine weitgehend übereinstimmen.

Die de Broglie Wellenlänge kann mit Gleichung (4) berechnet werden.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{\lambda }_{D}}\,=\,\frac{h}{\sqrt{2\cdot {{m}_{e}}\,\cdot \,e\cdot {{U}_{B}}}}\\{{\lambda }_{D}}\left( {{U}_{B}}=1500\,V \right)\,=\,\frac{6,6\cdot {{10}^{-34}}\,Js}{\sqrt{2\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}\,kg\,\cdot \,1,6\cdot {{10}^{-19}}\,C\cdot 1500\,V}}\\{{\lambda }_{D}}\left( {{U}_{B}}=1500\,V \right)\,=\,31,58\,pm\end{array}}

Den Elektronen, die im elektrischen Feld eine Energie von 1500 eV aufgenommen haben, kann die de Broglie-Wellenlänge von 31,58 pm zugeschrieben werden.

Handelt es sich bei den beobachteten Interferenzerscheinungen wirklich um die Interferenz von Elektronen?

Um das zu überprüfen, bringen wir einen Magneten neben die Apertur. Licht kann im Magnetfeld nicht abgelenkt werden. Anders verhält es sich mit einem Elektronenstrahl. Auf bewegte Ladungen wirkt im Magnetfeld die LORENTZkraft

Das Video zeigt, dass der Strahl den Gesetzen der LORENTZkraft genügt. Die beobachteten Interferenzerscheinungen sind also auf die Elektronen zurückzuführen.

Warum entsteht auf dem Schirm ein kreisförmiges Interferenzmuster?

Bei der Graphitfolie handelt es sich nicht um ein monokristallines Material. Die Folie besteht aus polykristallinen Graphitschichten. Wie wir schon bei den Versuchen zum Spaltenabstand der CD gesehen haben, können an Gittern nicht nur Transmissionen, sondern auch Reflexionen beobachtet werden.

Die einzelnen Graphitkristalle sind, jedes für sich, regelmäßig und identisch aufgebaut. Da die einzelnen Kristalle im Verbund des Polykristalls unregelmäßig angeordnet sind, gibt es bei der Reflexion keine Vorzugsrichtung. So erscheinen die Reflexionen eines Glanzwinkels auf einer Kreisbahn.

Damit haben wir gezeigt, dass die beobachteten Interferenzmuster mit de Broglies Postulat übereinstimmen. Neben den dualen Eigenschaften von Licht, können damit auch Elektronen Welleneigenschaften zugewiesen werden.