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Kleinwinkelnäherung

Eine häufig in der Physik genutzte Methode zur Vereinfachung von Gleichungen und Berechnungen ist die Kleinwinkelbeziehung bzw. die Kleinwinkelnäherung.

Wenn bei der Zusammenfassung von Formeln der Sinus und der Tangens eines Winkels auftreten, dann kann man diese Formeln zwar lösen, sie werden aber teilweise kompliziert und unübersichtlich. Hier kann unter bestimmten Bedingungen die Kleinwinkelbeziehung helfen.

Bei den Kleinwinkelnäherungen gibt es verschiedene Möglichkeiten, von denen hier zwei gezeigt werden.

Beispiel 1 - Kleinwinkelnäherung für Sinus und Tangens

Bei der Beugung am Doppelspalt gilt:

{\large \begin{array}{l}\left( 1 \right)\,\sin \left( \alpha \right)\,=\,\frac{\delta }{g}\\\left( 2 \right)\,\tan \left( \alpha \right)\,=\,\frac{{{d}_{k}}}{a}\end{array}}

Wollen wir die Gleichung nach g umstellen, dann erhalten wir:

{\large g\,=\,\frac{k\cdot \lambda }{\sin \left[ \arctan \left( \frac{{{d}_{k}}}{a} \right) \right]}}

Unter bestimmten Bedingungen können wir die Gleichung vereinfachen.

Für kleine Winkel unterscheiden sich der Sinus und der Tangens eines Winkels nur minimal. Die folgende Tabelle zeigt den Einfluss der Kleinwinkelnäherung. Bis zu Winkeln von 8° beträgt der Fehler der Kleinwinkelnäherung weniger als 1%. Bei einem Winkel von 10° liegt der Fehler noch unter 2%.

Bei einem Winkel von 20° liegt der Fehler schon über 6%. Wir müssen also auf Basis der experimentellen Parameter abschätzen, ob wir mit einer Kleinwinkelnäherung arbeiten können.

Beispiel 2 - Kleinwinkelnäherung für Sinus-Beziehungen

sin(2α) und 2·sin(α)

Da die Sinus-Funktion keine lineare Funktion ist, wird schnell deutlich, dass mathematisch zwischen diesen beiden Termen kein Gleichheitszeichen stehen kann.

Aber wie verhalten sich die Winkel?

Auch hier wird deutlich, dass die Annahme 2·sin(α) ≈ sin(2α) für Winkel bis 10° kaum Einfluss auf unser Ergebnis hat. Der Fehler liegt hier unter 2%.

Wie schon im Beispiel 1 gilt:

Wir müssen also auf Basis der experimentellen Parameter abschätzen, ob wir mit einer Kleinwinkelnäherung arbeiten können.

Beispiele für Kleinwinkelbeziehungen