Beugung am Doppelspalt

Ein paralleles, kohärentes Lichtbündel fällt auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand g.

Am Spalt wird das einfallende Licht gebeugt.

Da die Spaltbreiten identisch sind, wird das einfallende Licht im gleichen Winkel α gebeugt. Die gestrichelte Linie ist kein Lichtstrahl, sie dient ausschließlich der geometrischen Konstruktion.

Der Abstand Doppelspalt – Projektionsfläche a ist deutlich größer, als der Spaltenabstand g.

a>>g

Wir können daher die sich schneidenden Strahlen als quasi-parallel ansehen.

Die Strahlen schneiden sich im Abstand dk.von der Mittellinie.

Die blau markierte Linie zeigt die neue Wellenfront. Die Schwingungszustände längs der Wellenfront müssen für eine konstruktive Interferenz gleichphasig sein.  Sie interferieren also konstruktiv. Die rot markierte Strecke kennzeichnet also die Wegdifferenz der beiden Wellenstrahlen.

zur Geometrie:

(1) {sin(\alpha)=\frac{GK}{HY}=\frac{δ}{g}} und

(2) {tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}=\frac{d_{k}}{a}} 

Zwei Wellen interferieren konstruktiv, wenn der Gangunterschied δ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist.

δ = k · λ

{\sin\alpha=\frac{d_{k}}{g}\rightarrow\sin\alpha=\frac{k\cdot\lambda}{g}}

nach α umstellen:

α einsetzen in Gleichung (1)

nach g umstellen

{\alpha=\arctan\left(\frac{d_{k}}{a}\right)}

{\sin\left[\arctan\left(\frac{d_{k}}{a}\right)\right]=\frac{k\cdot\lambda}{g}}

{g=\frac{k\cdot\lambda}{\sin\left[\arctan\left(\frac{d_{k}}{a}\right)\right]}}

Kleinwinkelnäherung:

Für viele Beugungsbilder lässt sich die Berechnung aber auch vereinfachen.

Für kleine Winkel (a < 10°) gilt: sin(a) ≈ tan(a)

{\sin\left(\alpha\right)=\tan\left(\alpha\right)}

{\frac{k\cdot\lambda}{g}=\frac{d_{k}}{a}}

{\lambda=\frac{d_{k}\cdot g}{k\cdot a}}

 

zur Kleinwinkelnäherung:

Wann können wir die Werte von sin(α) und tan(α) gleichsetzen?

Natürlich sind die Werte von sin(α) und tan(α) für α>0 nicht gleich. Die folgende Tabelle zeigt aber, in welchem Bereich die Abweichungen eine vertretbare Größenordnung annehmen.

Für Winkel bis 8° beträgt die Abweichung unter 1 %. Für Winkel von 10° liegt die Abweichung noch deutlich unter 2 %.

Unter Berücksichtigung der Fehler im Messprozess, ist diese Abweichung sicher tolerierbar.  

a / Grand sin(a) tan(a) tan(a) / sin(a)
0 0 0 ---
1 0,0175 0,0175 1,0002
3 0,0523 0,0524 1,0014
5 0,0872 0,0875 1,0038
8 0,1392 0,1405 1,0098
10 0,1736 0,1763 1,0154
12 0,2079 0,2126 1,0223
15 0,2588 0,2679 1,0353
20 0,3420 0,3640 1,0642

Link zu einer Geogebra Animation mit einer hervorragenden Darstellung zur Beugung an Spalt, Doppelspalt und Gitter