Die spezifische Ladung eines Elektrons - e/m Bestimmung

Schlagwörter: e/m spezifische Ladung Elektron, Elektronen wiegen, Lorentzkraft, Magnetfeld, Kreisbahn, Fadenstrahlrohr, Fadenstrahl Röhre, Helmholtz Spulen Paar

Wenn wir die Ladung eines Elektrons kennen, dann können wir mit dem folgenden Experiment Elektronen „wiegen“.

Eine Waage ist dafür aber sicher kein geeignetes Gerät.

Historisch ist man an das Experiment so herangegangen, dass der Quotient e/m bestimmt wurde. Das ist die spezifische Ladung eines Elektrons.

01 Elektronen wiegen?

Vorbetrachtungen zum Experiment

Auf bewegte Ladungsträger (Elektronen) wirkt im Magnetfeld eine Kraft, die LORENTZkraft.

Die Elektronen verlassen die Elektronenkanone mit der konstanten Geschwindigkeit v.

Nach dem NEWTONschen Trägheitsgesetz ändert ein Körper seine Bewegung, wenn eine Kraft auf ihn wirkt. 

Nach der linken-Hand-Regel, wird das Elektron in Richtung der Kreismitte abgelenkt. Dabei ändert sich seine Bewegungsrichtung. Dadurch entsteht (für eine hinreichend große Ablenkung) eine Kreisbahn.

02

Versuchsidee

Beschleunigte Elektronen werden im Magnetfeld abgelenkt. Wenn die Ablenkung so stark ist, dass sich eine Kreisbahn bildet, dann können durch geschickte Verknüpfungen (Energieerhaltung, Kraftwirkungen) Aussagen zur Ladung und zur Masse gemacht werden.

Experiment

spezifische Ladung Elektron
03 Aufbau Experiment e/m Bestimmung

Aufbau

Kernstück des Experimentes ist die Fadenstrahlröhre. In der Fadenstrahlröhre befindet sich eine Elektronenkanone (Wehnelt Zylinder) in der die Elektronen auf eine bestimmte Geschwindigkeit beschleunigt werden.

Die Röhre befindet sich zwischen einem Helmholtz Spulenpaar. Die besondere Eigenschaft der Helmholtz Spule ist, dass das Magnetfeld zwischen den Spulen nahezu als homogen betrachtet werden kann.

Auf bewegte Ladungsträger, hier Elektronen, wirkt im Magnetfeld die Lorentzkraft. Bei richtiger Polung werden die Elektronen auf eine Kreisbahn abgelenkt. Im Innenraum der Röhre befinden sich fluoreszierende Reiter, mit deren Hilfe der Radius der Kreisbahn besser abgelesen werden kann. Der Spulenstrom und somit die Stärke des Magnetfelds kann über das Potentiometer geregelt werden. Spulenstrom und Beschleunigungsspannung sind über ein Amperemeter und ein Voltmeter abzulesen.

Beobachtungen

Die beschleunigten Elektronen verlassen mit der Geschwindigkeit v die Elektronenkanone. Nach Verlassen der Elektronenkanone bewegen sich die Elektronen gradlinig ,mit der konstanten Geschwindigkeit v. Es gilt: v=f(UB)

{\large v=\,\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot {{U}_{B}}}{{{m}_{e}}}} }

spezifische Ladung Elektron

angelehnter Spulenstrom

spezifische Ladung Elektron
05 kleiner Spulenstrom
spezifische Ladung Elektron
06 größerer Spulenstrom

Entstehung der Kreisbahn - Kräfte

Die LORENTZkraft FL wirkt hier als Zentripetalkraft Fz.

Wir gehen zunächst von einer Bewegung der Elektronen, senkrecht zu den magnetischen Feldlinien aus. { \vec{v}\,\bot \vec{B}\,}

FL bzw. FZ ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet.

{ \begin{array}{l}{{F}_{L}}=e\cdot v\cdot B\,\,\left( \vec{e}\bot \vec{B} \right)\\{{F}_{Z}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{v}^{2}}}{r}\end{array}  } 

GeoGebra

Herleitung – spez. Ladung eines Elektrons e/m

Auf bewegte Ladungen wirkt im Magnetfeld die LORENTZ Kraft.

Die Kraft ist zum Kreismittelpunkt gerichtet. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft.

Es gilt:

{\large q\cdot B\cdot v\,\,=\,\frac{m\cdot {{v}^{2}}}{r}}

Da es sich bei den bewegten Ladungen um Elektronen handelt, können wir die Gleichung konkretisieren. (q=e; m=me)

 

{\large\displaystyle \begin{array}{l}e\cdot B\cdot v\,\,=\,\frac{{{m}_{e}}\cdot {{v}^{2}}}{r}\,\,\,\,\,\,\,\left| :v \right.\\\\e\cdot B\,\,\,\,\,\,=\,\frac{{{m}_{e}}\cdot v}{r}\,\,\,\,\,\left| :{{m}_{e}}\,\,\left| :B \right. \right.\\\\\frac{e}{{{m}_{e}}}\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\frac{v}{B\,\cdot \,r}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Einsetzen\,\,von\,\,v\,\,(1)\\\\\frac{e}{{{m}_{e}}}\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\frac{\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot {{U}_{B}}}{{{m}_{e}}}}}{B\cdot \,r}\,\,\,\,\,\,quadrieren\\\\\frac{{{e}^{2}}}{{{m}_{e}}^{2}}\,\,\,\,\,\,=\,\frac{2\,\cdot \,e\,\cdot \,{{U}_{B}}}{{{m}_{e}}\,\cdot {{B}^{2}}\,\cdot \,{{r}^{2}}}\,\,\,\,\,\left| :\,\frac{e}{{{m}_{e}}} \right.\\\\\,\,\,\frac{e}{{{m}_{e}}}\,\,\,\,\,=\,\,\frac{2\,\cdot \,{{U}_{B}}}{{{B}^{2}}\,\cdot \,{{r}^{2}}}\end{array}  }

Statt mit einer HALL-Sonde können wie die Stärke des Magnetfeldes (magnetische Flussdichte B) auch über den Spulenstrom berechnen.

Die Herstellerangebe für das hier verwendete HELMOLTZ-Spulenpaar lautet:

{\large {{B}_{Helmholtz}}\,=\,{{\mu }_{0}}\,\cdot \,\frac{I\,\cdot \,N}{r}\,\cdot \left( 0,715 \right)}

Bei der 0,715 handelt es sich um einen spulenspezifischen Korrekturfaktor.

Um einen gleichen Strom durch beide Spulen zu gewährleisten, sollten diese in Reihe geschaltet werden.

Messwerte

Die folgenden Messwerte wurden real am 04.12.19 im Unterricht aufgenommen. Die grün unterlegten Werte sind Messwerte. Bei den beige unterlegten Werten handelt es sich um berechnete Werte.

{\large \displaystyle {{B}_{Helmholtz}}={{\mu }_{0}}\cdot \frac{I\cdot N}{R}\cdot (0,715)}

{ \large \displaystyle \frac{e}{m}=\frac{2\cdot U}{{{B}^{2}}\cdot {{r}^{2}}}}

Radius der Spule: 20 cm; Windungszahl: 154

Berechnung

Beispiel: r=5 cm=0,05 m; U=150 V; I=1,1 A

  1. Berechnung der magnetischen Flussdichte B

{ \large \displaystyle \begin{array}{l}{{B}_{Helmholtz}}={{\mu }_{0}}\cdot \frac{I\cdot N}{R}\cdot (0,715)\\\\{{B}_{Helmholtz}}\left( 1,1\,A \right)=1,26\cdot {{10}^{-6}}\,\frac{Tm}{A}\cdot \frac{1,1\,A\cdot 154}{0,05\,m}\cdot (0,715)\\\\{{B}_{Helmholtz}}\left( 1,1\,A \right)=7,6\cdot {{10}^{-4}}\,\frac{\text{Tm}}{\text{A}}\cdot \frac{\text{A}}{\text{m}}\,=\,7,6\cdot {{10}^{-4}}\,T\,=\,0,76\,\text{mT}\end{array}}

  1. Berechnung der spezifischen Ladung e/m

{\large \displaystyle \begin{array}{l}\frac{e}{m}=\frac{2\cdot U}{{{B}^{2}}\cdot {{r}^{2}}}\\\\\frac{e}{m}=\frac{2\cdot 150\,V}{{{\left( 7,6\cdot {{10}^{-4}}\,T \right)}^{2}}\cdot {{\left( 0,05\,m \right)}^{2}}}\\\\\frac{e}{m}=\,2,1\cdot {{10}^{11}}\frac{\,V}{{{T}^{2}}\cdot {{m}^{2}}}\end{array} }

Einheitenbetrachtung:

Die experimentell bestimmte spezifische Ladung des Elektrons beträgt  { 2,1\,\cdot \,{{10}^{11}}\,\frac{C}{kg}}

Auswertung

Bei einer Elementarladung von e=1,6·10-19 C lässt sich die Masse des Elektrons berechnen.

{\large\begin{array}{l}{{m}_{e}}\,=\,\frac{1}{\left\{ \frac{e}{m} \right\}}\,\cdot e\\{{m}_{e}}\,=\,\frac{1\,\,kg}{2,1\cdot {{10}^{11}}\,C}\,\cdot \,1,6\cdot {{10}^{-19}}\,C\\\\{{m}_{e}}\,=\,7,6\cdot {{10}^{31}}\,kg\end{array} }

Laut Literatur beträgt die Elektronenmasse 9,1·10-31 kg.

Abweichung bzw. Fehler:

{\large \begin{array}{l}\Delta {{m}_{e}}\,=\,\left| {{m}_{e,lit}}\,-\,{{m}_{e,exp}} \right|\,=\,1,5\cdot {{10}^{-31}}\,kg\\\\relativer\,\,Fehler:\frac{\Delta {{m}_{e}}}{{{m}_{e,lit}}}\,=\,\frac{1,5\cdot {{10}^{-31}}\,kg}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\,kg}=\,0,1648\,\approx ,017\end{array}  }

Der relative Fehler beträgt 0,17 bzw. 17 %. Achtung! Beim Runden von Fehlern gelten nicht die mathematischen Rundungsregeln. Fehler werden immer aufgerundet.

Fehlerbetrachtung

Im betrachteten Beispiel lag die Abweichung vom Literaturwert bei 17 %. Die anderen Messwerte liefern Fehler zwischen 14 % und 24 %.

  • Können wir mit den Werten zufrieden sein?
  • Können wir Änderungen am Versuchsaufbau vornehmen, um den Fehler zu minimieren?

Um das zu überprüfen, führen wir eine Fehlerrechnung durch. Da hier mehrere Messwerte mit ihren Fehlern in die Rechnung eingehen, müssen wir die Regeln der Fehlerfortpflanzung beachten.

Folgende Werte gehen in die Berechnung ein:

  • Radius der Elektronenbahn r
  • Beschleunigungsspannung U
  • magnetische Flussdichte B (Diese werden wir wie den gemessenen Spulenstrom I behandeln, da die Flussdichte direkt aus dem Spulenstrom berechnet wurde.)

zum Radius der Elektronenbahn

Wir schätzen ab, dass wir den Radius mit einer Genauigkeit von 1 mm ablesen können. Damit beträgt der absolute Fehler des Radius Δr=1 mm

zur Beschleunigungsspannung U

Der Fehler der Spannungsmessung setzt sich aus zwei Fehlern zusammen, dem Ablesefehler und dem Fehler des Messgerätes.

Ablesefehler: Den Ablesefehler im Messbereich 300 V schätzen wir auf 5 V.

Fehler des Messgerätes: Der Fehler des Messgerätes ergibt sich aus der Güte. Die Güte des Messgerätes gibt den Fehler in Prozenten vom Vollausschlag an. Die Güte beträgt beim verwendeten Messgerät 1,5. 1,5 % von 300 V ergeben einen Fehler von 4,5 V der durch das Messgerät bedingt ist.

Die beiden absoluten Fehler (Ablesefehler und Fehler des Messgerätes) werden addiert. 5 V+4,5 V=9,5 V

Damit beträgt der absolute Fehler der Spannungsmessung ΔU=9,5 V

zur magnetischen Flussdichte

Wie bereits beschrieben, werden wir hier die Strommessung zu Grunde legen. Der Fehler der Strommessung setzt sich aus zwei Fehlern zusammen, dem Ablesefehler und dem Fehler des Messgerätes.

Ablesefehler: Den Ablesefehler im Messbereich 3 A schätzen wir auf 0,1 A.

Fehler des Messgerätes: Der Fehler des Messgerätes ergibt sich aus der Güte. Die Güte des Messgerätes gibt den Fehler in Prozenten vom Vollausschlag an. Die Güte beträgt beim verwendeten Messgerät 1,5. 1,5 % von 3 A ergeben einen Fehler von 0,045 A der durch das Messgerät bedingt ist.

Die beiden absoluten Fehler (Ablesefehler und Fehler des Messgerätes) werden addiert. 0,1 A+0,045 A=0,145 A

Damit beträgt der absolute Fehler der Strommessung ΔI=0,145 A

Wie gehen die Messwerte und ihre Fehler in die Berechnung ein?

{\large \displaystyle \frac{e}{m}=\frac{2\cdot U}{{{B}^{2}}\cdot {{r}^{2}}}}

Die Spannung geht mit dem Faktor 2, also quasi als Summe in die Berechnung ein (2·U=U+U)

Die magnetische Flussdichte (bzw. der Spulenstrom) und der Radius der Elektronenbahn gehen jeweils quadratisch in die Berechnung ein.

Die Regeln der Fehlerfortpflanzung zeigen:

  • Gehen zwei fehlerbehaftete Größen a und b als Produkt (a·b) oder als Quotient (a/b) in eine Rechnung ein, so ist der relative Fehler des Produktes bzw. des Quotienten gleich der Wurzel, aus den Quadraten der relativen Fehler.
  • Geht eine fehlerbehaftete Größe a in der n-ten Potenz in eine Rechnung ein, so ist der relative Fehler der Potenz gleich das n-fache des relativen Fehlers.

{\large \begin{array}{l}\frac{\Delta r}{r}=\,\frac{0,1\,cm}{5\,cm}\,=\,0,02\\\\\frac{\Delta U}{U}\,=\,\frac{9,5\,V\,+\,9,5\,V}{150\,V}\,=\,0,127\\\\\frac{\Delta I}{I}\,=\,\frac{0,145\,A}{1,1\,A}\,=\,0,132\end{array} }

{\large \displaystyle \begin{array}{l}\frac{\Delta \left( \frac{e}{m} \right)}{\left( \frac{e}{m} \right)}\,=\,\sqrt{{{\left( \frac{\Delta U}{U} \right)}^{2}}\,+\,{{\left( 2\cdot \frac{\Delta I}{I} \right)}^{2}}+{{\left( 2\cdot \frac{\Delta r}{r} \right)}^{2}}}\\\\\frac{\Delta \left( \frac{e}{m} \right)}{\left( \frac{e}{m} \right)}\,=\,\sqrt{{{\left( 0,127 \right)}^{2}}\,+\,{{\left( 2\cdot 0,145 \right)}^{2}}+{{\left( 2\cdot 0,02 \right)}^{2}}}\end{array} }

Die Berechnung liefert:

{\large\displaystyle \frac{\Delta \left( \frac{e}{m} \right)}{\left( \frac{e}{m} \right)}\,=\,0,317  }

Damit können wir ein Vertrauensintervall angeben. Das ist der Bereich, in dem sich unsere berechneten Werte auf Basis der Messparameter befinden dürfen.

Dieses Intervall haben wir mit 32 % berechnet.

Wir hatten die spezifische Ladung des Elektrons e/m mit  {\large \displaystyle \frac{e}{m}=\,2,1\cdot {{10}^{11}}\frac{\,C}{kg}  } berechnet.

Literaturwert:   {\large \displaystyle \frac{e}{m}=\,1,758\,820\cdot {{10}^{11}}\frac{\,C}{kg}  }

32 % von 2,1·1011 C/kg =0,672 C/kg

{\large\begin{array}{l}\frac{e}{m}=\left( 2,1\,\pm 0,67 \right)\cdot {{10}^{11}}\,\frac{C}{kg}\\bzw.\\\frac{e}{m}=\left( 2,1\,\pm 32\,\% \right)\cdot {{10}^{11}}\,\frac{C}{kg}\end{array} }

Damit können wir feststellen, dass der Literaturwert im berechneten Vertrauensintervall liegt.

Ein Fehler von 32 % sieht auf den ersten Blick nicht wirklich gut aus. Können wir die Messung optimieren?

Dazu ist es hilfreich, sich anzusehen, welche Messung wie stark in die Fehlerrechnung eingeht.

Den größten Fehlereinfluss liefert hier die Strommessung. Wenn wir Werte nahe der Messbereichsgrenze (3 A) messen, dann reduziert sich der Fehler des Messgerätes deutlich.

Die folgende Tabelle zeigt die Fehlerberechnungen und die Vertrauensbereiche für die vorangestellten Messungen.

Abweichungen zur obigen Rechnung ergeben sich durch Rundungen.

Verdrehen der Röhre

Was passiert, wenn die Fadenstrahlröhre verdreht wird?

Die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Feldlinien des Magnetfeldes stehen nicht mehr senkrecht zueinander.

… in Arbeit …

spezifische Ladung Elektron