Fehlerrechnung

Die folgenden Ausführungen erheben nicht den Anspruch auf Vollständigkeit, sondern sollen als Einstieg in die Fehlerrechnung auf dem Niveau der Schule verstanden werden. Auf Verfahren und Berechnungen, die eine Mathematik jenseits des Grundkurses erfordern, werde ich verzichten. Weitergehende Betrachtungen sind unter den Links zu finden.

Jede Messung einer physikalischen Größe (Ausnahme Zählung) ist immer mit einem Fehler behaftet, d.h. die erhaltenen Messwerte weichen mehr oder weniger stark vom wahren Wert ab.

Dabei klingt der Begriff Fehler zunächst sehr negativ. Das trifft in diesem Fall nicht zu, da Messfehler bzw. Messunsicherheiten bei jeder Messung enthalten sind, sie sind unvermeidbar.

“Man misst eigentlich immer falsch, man muss nur wissen wie viel” // David Packard

Diese Abweichung zum „wahren“ Wert ist mathematisch betrachtet eine Differenz. Diese wird mit dem griechischen Buchstaben Delta Δ gekennzeichnet.

Der „wahre“ Wert xw unterschiedet sich vom Messwert xum dem Fehler Δx.

Bei der Betrachtung von Messwerten können wir zunächst zwei verschiedene Kategorien unterscheiden:

  • Angabe der Fehler
    • absolute Fehler
    • relative Fehler
  • Art der Fehler
    • systematische Fehler
    • zufällige Fehler
    • grobe Fehler

Angabe der Fehler

absolute Fehler Δx:

Der absolute Fehler ergibt sich aus einer Differenz. Er ist der Betrag der Differenz aus gemessenerem Wert und dem als exakt angenommenen Wert. Der absolute Fehler hat die gleiche Einheit wie der Messwert.

relative Fehler Δx/xw:

Der relative Fehler setzt die Größe des Fehlers ins Verhältnis zum erwarteten Wert. Er ist der Quotient aus absolutem Fehler und dem als exakt angenommenen Wert.

Art der Fehler

Systematische Fehler können durch folgende Parameter entstehen:

    • unvollkommenheit der Messapparatur
    • vernachlässigte Umwelteinflüsse
    • elektrische und magnetische Streufelder
    • Einfluss des Messgerätes auf die Messung

Systematische Fehler sind entweder systematisch größer oder systematisch kleiner als der tatsächliche Messwert.

Werden Messungen unter gleichen Bedingungen wiederholt, so treten systematische in gleicher Größe erneut auf.

Wenn die systematischen Fehler im Experiment nicht vermieden werden können, so müssen sie in der Auswertung entsprechend berücksichtigt werden.

Zufällige Fehler können durch folgende Parameter entstehen:

  • falsches Ablesen von den Messgeräten – Ablesefehler
  • Fehler bei der Messung
  • äußere Einflüsse, wenn diese nicht systematisch die Messung verfälschen

           (Erschütterungen, Spannungsschwankungen, Luftfeuchtigkeit, …)

  • können subjektive und objektive Ursachen haben

Zufällige Fehler können (anders als systematische Fehler) in einer Messreihe sowohl größer als auch kleiner als der zu messende Wert sein.

Selbst bei einem identischen Versuchsaufbau, erhält man bei wiederholten Messungen nie identische Messwerte. Diese Abweichungen bilden den zufälligen Fehler. Zufällige Fehler sind statistischer Art und können durch statistische Verfahren minimiert werden.

Wird eine Messung nur einmal aufgenommen bzw. kann die Messung nicht wiederholt werden, so muss der Fehler abgeschätzt werden.

Grobe Fehler können durch folgende Parameter entstehen:

  • falsches Ablesen von den Messgeräten – Ablesefehler
  • Fehler bei der Messung

Grobe Fehler sind ausschließlich subjektiver Natur und daher vermeidbar. Da grobe Fehler keiner Systematik unterliegen, können sie mathematisch nicht beschrieben werden. Grobe Fehler können bei der Auswertung von Messreihen als sogenannte Ausreißer erkannt und aussortiert werden.

Begriffe der Fehlerrechnung