signifikante Stellen

signifikant – bedeutsam (lat.)

Jede Messung einer physikalischen Größe ist immer mit einem Fehler behaftet, d.h. die erhaltenen Messwerte weichen mehr oder weniger stark vom wahren Wert ab. Wird mit diesen Werten weitergerechnet, so sind auch die folgenden Ergebnisse ungenau. Das bedeutet, dass das Ergebnis nicht genauer sein kann, als der ungenaueste Messwert.

Ist es daher sinnvoll ein berechnetes Ergebnis mit beliebiger Genauigkeit anzugeben?

Nein! Es ist nicht sinnvoll. Es ist sogar falsch, da die Angabe von vielen signifikanten Stellen eine nicht vorhandene Genauigkeit suggeriert.

Beispiel:  

Ihr fahrt mit dem Fahrrad eine Strecke von 10 km und benötigt dafür 45 min, also  ¾ h. Berechne die Geschwindigkeit!

Die Strecke von 10 km habt ihr eurem Streckenzähler entnommen. Er zeigt mit einer Genauigkeit von 100 m = 0,1 km an. Strecke s = 10,0 km. Bis zur Stelle 100 m bzw. 0,1 km könnt ihr die Streckenlänge angeben, also drei signifikante Stellen.         s=(10,0±0,1) km/h

Die Zeit habt Ihr mit eurer Uhr gemessen. Diese zeigt nur die Minuten, nicht die Sekunden an.

Zeit t = 45 min, also zwei signifikante Stellen.    t=(45±1) min

Das Ergebnis darf also höchstens zwei signifikante Stellen haben!

10 km : ¾ h = 13,3333333333… km/h

 Da das Ergebnis nur zwei signifikante Stellen haben darf lautet die Antwort:

Die Geschwindigkeit beträgt 13 km/h

Beispiele für signifikante Stellen:

    • 2,56                             3 signifikante Stellen
    • 0,000016                     2 signifikante Stellen
    • 0,003                           1 signifikante Stelle
    • 2 * 107                          1 signifikante Stelle
    • 2,0 * 107                      2 signifikante Stellen
    • 20060                         5 signifikante Stellen
    • 1,3 * 10-23                   2 signifikante Stellen

Signifikante Stellen haben nichts mit der Anzahl  der Nachkommastellen zu tun. 0,45 kg  hat zwei Nachkommastellen, ist aber, wie schnell zu erkennen, nicht so genau wie 452 g oder aber 452310 mg.

Ist es sinnvoll die Zahl der signifikanten Stellen für alle Experimente vorzugeben?

In jedem Experiment werden verschiedene Messapparaturen verschiedener Güte verwendet. In verschiedenen Experimenten werden verschieden viele Messwerte unterschiedlich mathematisch verknüpft (additiv, multiplikativ, exponentiell), also werden sich Messfehler unterschiedlich niederschlagen. (s. Fehlerfortpflanzung)

Das heißt:  Die Zahl  signifikanter  Stellen  ergibt  sich  aus  dem  Experiment.

Beispiele:

  1. Längenmessung

Mit einem Lineal kann eine Strecke auf 1 mm Genauigkeit gemessen werden. Die Strecke hat also eine Länge von 10,0 cm. Hier muss die Dezimalstelle mit angegeben werden um die Genauigkeit der Messung zu zeigen. 

 

2. Fallzeit einer Kugel

Die Fallzeit einer Kugel wird mit einer Stoppuhr (digital – Anzeige bis 1/100 s) gemessen. Der gemessene Wert betrage 1,49 s.

Über die Fallzeit soll die Fallhöhe bestimmt werden. Reibungseinflüsse bleiben unberücksichtigt.

Die Messung mit der Stoppuhr unterliege drei Fehlern:

    • Durch die Digitalisierung ist die letzte Stelle gerundet, d.h.    t = (1,49±0,01) s
    • Es kann eine Reaktionszeit von 0,2 s angenommen werden.
    • Das Messgerät, hier die Uhr, ist ungenau. Da uns hierzu keine Angaben vorliegen, schätzen wir den Fehler auf 2%. 2% von 1,49 s entspricht ca. 0,03 s.

Es ergibt sich in der Addition ein Fehler von 0,24 s. Vor dem Hintergrund dieses Fehlers ist die Angabe der dritten signifikanten Stelle nicht sinnvoll. Da Fehler nicht abgerundet werden dürfen, wird die Fehlerangabe 0,24 s auf 0,3 s gerundet.

             t = (1,5 ± 0,3) s

 

 

Begriffe der Fehlerrechnung

  • Mittelwert Arithmetisches Mittel
  • signifikante Stellen
  • Standardabweichung
  • Regressionsverfahren
  • Fehlerfortpflanzung
  • Fehlerbalken
  • Vertrauensbereich