Ersatzschaltbilder

Schlagwörter: Schaltung, Eigenschaften der Bauteile, Primäreigenschaft, Sekundäreigenschaft

Jedes Bauelement hat neben seinen Primäreigenschaften weitere Eigenschaften. Diese können in bestimmten Situationen von Bedeutung sein. Die Eigenschaften, die bei einem Versuch von Bedeutung sein können, werden in einem Ersatzschaltbild dargestellt.

elektrische Leiter

Der ideale Leiter hat einen Widerstand von 0 Ω. In den meisten Fällen ist das auch ausreichend. Der Leiter wird dann als Linie dargestellt. ►01

Wenn Leitungen besonders lang sind, oder sehr große Ströme durch einen Leiter fließen, dann muss auch der Widerstand des Leiters berücksichtigt werden. Das ist z.B.  bei der Energieübertragung über Hochspannungsleitungen der Fall. ►02

Bei hohen Strömen kann das Magnetfeld, das sich um den Leiter aufbaut, von Bedeutung sein. ►03

Wenn wir mit hohen Frequenzen arbeiten, dann hat der Leiter auch induktive und kapazitive Eigenschaften. ►04

01 Leiter
02 Ersatzschaltbild Leiter (R)
03 Ersatzschaltbild Leiter (R+L)
04 Ersatzschaltbild Leiter (R+C+L)

Batterie

Eine ideale Batterie liefert die angegebene Klemmenspannung. Wenn wir aber mehrere Elektrogeräte anschließen, dann können wir beobachten, dass die Spannung an der Batterie kleiner wird oder sogar zusammenbricht.

Beispiel: Das Licht am Auto wird dunkler, wenn der Motor gestartet wird.

Die Batterie muss also Eigenschaften haben, die wir in einem Ersatzschaltbild berücksichtigen können. ►05

Ersatzschaltbild Batterie
05 Ersatzschaltbild Batterie

Messgeräte

Die Demo Messgeräte, die in der Schule verwendet werden, nutzen häufig Drehspulmesswerke. Es fließt ein Strom durch eine Spule. Die magnetische Wirkung wird dann genutzt, um einen Zeigerausschlag zu generieren.  Das gilt sowohl für das Voltmeter, als auch für das Amperemeter. 

Voltmeter

Ein ideales Voltmeter hat einen unendlich hohen Innenwiderstand. Wenn wir uns aber den Messprozess anschauen, dann sehen wir, dass hier Strom durch eine Spule fließt. Wäre der Innenwiderstand des Voltmeters unendlich groß, dann könnte der Strom nicht fließen.

Ersatzschaltbild eines Voltmeters

Es gibt Versuche, bei denen wir das berücksichtigen müssen. Wenn wir die Spannung messen wollen, die zwischen zwei Kondensatorplatten anliegt, dann fließt über das Messgerät ein Strom. Ist der Kondensator an keiner Spannungsquelle angeschlossen, dann werden die wenigen Ladungen sehr schnell abfließen. Der Kondensator ist entladen. Hier müssen wir ein anderes Messgerät wählen (z.B. Elektroskop).

Ein weiteres Beispiel liefert der Versuch „h- Bestimmung mit der Photozelle“. Obwohl die zu messenden Spannungen zwischen 0 und 1,6 V betragen, können wir hier kein einfaches Drehspulmessgerät nutzen.

Die Innenwiderstände hängen vom Messbereich und der Qualität des Messgerätes ab.

Beispiele für Innenwiderstände von Voltmetern:

  • Messbereich 1000 V – Innenwiderstand 10 MΩ
  • Messbereich 100 V – Innenwiderstand 1 MΩ
  • Messbereich 10 V – Innenwiderstand 100 kΩ

Amperemeter

Ein ideales Amperemeter hat einen Innenwiderstand von 0 Ω. Wenn wir uns auch hier den Messprozess anschauen, dann sehen wir, dass der Strom durch eine Spule fließt. Damit muss der Widerstand größer als 0 Ω sein.

Ersatzschaltbild eines Amperemeters

Beispiele für Innenwiderstände von Amperemetern:

  • Messbereich 10A – Innenwiderstand 0,06 Ω
  • Messbereich 1A – Innenwiderstand 0,1 Ω
  • Messbereich 1mA – Innenwiderstand 100 Ω

Jede Messung hat einen Einfluss auf den beobachteten Prozess. Die Fragen, die sich dabei stellen, sind:

  • Wie groß ist der Einfluss?
  • Kann ich den Einfluss reduzieren?

Wie groß ist der Einfluss?

Um die Frage zu klären, betrachten wir die Schaltung und das Ersatzschaltbild.

a) Beispiel Strommessung:

Der Innenwiderstand der Amperemeter liegt hier bei ca. 1 Ω pro Messgerät. Das ist deutlich geringer, als die Widerstände der Lampen. Damit können die Einflüsse hier vernachlässigt werden. Messtechnisch wird es hier erst in der 3. signifikanten Stelle Einflüsse auf die Messungen geben. 

b) Beispiel Spannungsmessung am Plattenkondensator:

Der Plattenkondensator wurde mit einer Spannung von 2000 V aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Die Platten haben eine Fläche von A=500 m2 und einen Abstand von 3 cm. Als Dielektrikum nehmen wir Luft an. Damit können wir µr vernachlässigen.

Plattenkondensator Spannung

Rechnung:

{\large\begin{array}{l}C={{\varepsilon }_{0}}\cdot \frac{A}{d}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\varepsilon }_{0}}=8,85\cdot {{10}^{-12}}\,\frac{As}{Vm}\\\\Q={{\varepsilon }_{0}}\cdot U\cdot \frac{A}{d}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{A}_{Platten}}=500\,c{{m}^{2}}\,=\,5\cdot {{10}^{-2}}\,{{m}^{2}}\\\\Q=8,85\cdot {{10}^{-12}}\,\frac{As}{Vm}\cdot 2000\,V\cdot \frac{5\cdot {{10}^{-2}}\,{{m}^{2}}}{0,03\,cm}\\\\Q=3,0\cdot {{10}^{-8}}\,As\,=\,30\,nC\end{array} }

Wenn wir davon ausgehen, dass das Messgerät im MB 3000 V einen Innenwiderstand von 30 MΩ hat, dann können wir den Stromfluss berechnen.

{\large I=\frac{U}{R}\,=\,\frac{2000\,V}{3\,\cdot {{10}^{7}}\,\Omega }\,=6,7\cdot {{10}^{-5}}A=67\,\mu A }

Wenn der Strom konstant fließen würde, dann wären nach 0,45 ms alle Ladungen abgeflossen.

{\large \begin{array}{l}Q=I\cdot t\\t=\frac{Q}{I}=\frac{3,0\cdot {{10}^{-8}}\,As}{6,7\cdot {{10}^{-5}}A}\\\\t=4,5\cdot {{10}^{-4}}\,s=0,45\,ms\end{array}}

Da aber mit abnehmender Ladung auch die Spannung zwischen den Kondensatorplatten abnimmt, können wir hier die Gleichungen zum Entladen von Kondensatoren nutzen. Dafür benötigen wir noch die Kapazität des Plattenkondensators.

{\large\begin{array}{l}C={{\varepsilon }_{0}}\cdot \frac{A}{d}\\\\C=8,85\cdot {{10}^{-12}}\,\frac{As}{Vm}\cdot \frac{5\cdot {{10}^{-2}}\,{{m}^{2}}}{0,03\,m}\\\\C=1,5\cdot {{10}^{-11}}\,\frac{As}{V}=1,5\cdot {{10}^{-11}}\,F=15\,pF\end{array}  }

zur Berechnung der Spannung:

{\large\begin{array}{l}U(t)={{U}_{0}}\cdot {{e}^{-\frac{t}{R\cdot C}}}\\\\U(t)=2000\,V\cdot {{e}^{-\frac{t}{30\,M\Omega \cdot 15\,pF}}}\end{array}  }

Nach welcher Zeit hat sich die Ausgangsspannung halbiert?

{\large\begin{array}{l}U(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2000\,V\cdot {{e}^{-\frac{t}{30\,M\Omega \cdot 15\,pF}}}\\\\1000\,V\,=2000\,V\cdot {{e}^{-\frac{t}{30\,M\Omega \cdot 15\,pF}}}\\\\0,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,{{e}^{-\frac{t}{30\,M\Omega \cdot 15\,pF}}}\\\ln \left( 0,5 \right)\,=-\frac{t}{30\,M\Omega \cdot 15\,pF}\\\\t\,\,\,=\,-\ln (0,5)\cdot 30\cdot {{10}^{6}}\,\frac{V}{A}\cdot 15\cdot {{10}^{-12}}\,\frac{As}{V}\\\\t=\,3,1\cdot {{10}^{-4}}\,s=0,31\,ms\end{array}  }

Nach 0,31 ms hat sich die Spannung halbiert. Nach 2 ms ist die Spannung auf ca. 1% des Ausgangswerts gesunken.

Wir sehen also, dass das Messgerät für die Messung der Kondensatorspannung nicht geeignet ist.

Wie können wir die Spannung messen?

Bei den oben betrachteten Beispielen ist die Frage bei der Spannungsmessung am Kondensator von Interesse. Ziel der Adaption des Messprozesses muss es sein, den Innenwiderstand des Spannungsmessgerätes deutlich zu erhöhen. Dafür gibt es zwei einfache Möglichkeiten:

  • Verwenden eines elektrostatischen Voltmeters
  • Verwenden eines Messverstärkers

Elektrostatische Voltmeter funktionieren ohne Stromfluss. Ihr Funktionsprinzip basiert auf dem des Elektroskops.

Messverstärker für Spannungsmessungen haben einen um mehrere Zehnerpotenzen höheren Innenwiderstand als Drehspuhlmessgeräte. In diesem Fall wäre der Messverstärker aber ungeeignet, das die Spannung deutlich zu hoch ist. Die Verwendung eines Messverstärkers bietet sich aber z.B. im Experiment „h-Bestimmung an der Photozelle“ an.