Magnetfeld einer langen Spule

Schlagwörter: Magnetfeld, Spule, lange Spule, magnetische Feldlinien, magnetische Flussdichte, magnetische Kraftwirkung

Was ist eine lange Spule?

Allgemein findet man die Angabe, dass bei einer „langen“ Spule die Länge l deutlich größer ist als der Spulenradius r.

{\large l\gg \,r }

Die Betrachtung einer langen Spule stellt also eine Idealisierung dar, die ab einem Verhältnis Länge : Radius > 4 vertretbar ist und Fehler unter 10 % liefert. Der korrekte Einfluss des Verhältnisses von Länge und Radius der Spule auf die Stärke des Magnetfeldes wird am Ende der Seite betrachtet.

Magnetfeld einer Spule

Wir wissen bereits, dass elektrische Ströme von einem Magnetfeld umgeben sind. Diese Magnetfelder überlagern sich zu einem Magnetfeld. Das Magnetfeld einer Spule ist mit dem Feldlinienbild eines Stabmagneten vergleichbar.

Im Inneren der Spule verlaufen die Feldlinien parallel. Die Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende. Magnetische Feldlinien sind geschlossene Linien.

01 Magnetfeld einer Spule

Mit Hilfe des Feldliniengerätes können wir die magnetischen Feldlinien darstellen. An die Spule wird eine Spannung angelegt. Zwischen die Leiterbahnen werden Eisenpfeilspäne gestreut. Eisen ist ein ferromagnetischer Stoff. Die Eisenpfeilspäne richten sich unter dem Einfluss des Magnetfelds aus.

02 Experiment - mag. Feldlinien
03 mag. Feldlinien
04 mag. Feldlinien in Leiternähe

Die einzelnen Leiterbahnen sind von einem Magnetfeld umgeben ►04. (s. Magnetfeld um einen Leiter) Diese überlagern sich. ►03

Da wir ein Messgerät zur Messung der Magnetischen Flussdichte (Tesla-Meter kommt später) noch nicht eingeführt haben, werden wir die Stärke des Magnetfeldes indirekt bestimmen. Dafür betrachten wir die Kraft auf einen Probekörper im Magnetfeld. Dabei gilt: F~B

Durch die Messung der Kraft F können wir auf die Stärke des Magnetfeldes B schließen.

Welche Größen beeinflussen die Stärke des Magnetfelds in einer Spule?

Hypothesen:

  1. Stromstärke bzw. Spulenstrom I
  2. Windungszahl N
  3. Länge der Spule
  4. Spulenradius (wird hier zunächst vernachlässigt – Idealisierung lange Spule)

 

Weitere Hypothesen, die ggf. genannt werden könnten:

  • Verschiedene Leitermaterialien haben verschiedene spezifische Widerstände ρ. Damit ändert sich bei konstanter Spannung der Spulenstrom. Da aber jeweils nur eine Größe geändert wird, wird der Spulenstrom über das Poti konstant gehalten.

Wird hier noch nicht untersucht, hier gehen wir zunächst vom Vakuum aus. Der Fehler gegenüber der Luft ist vernachlässigbar. Betrachtungen zum Material in der Spule folgen unter Hysterese.

Planung des Experimentes

Wir wissen bereits, dass die Stärke des Magnetfelds B proportional zu Kraftwirkung F ist. Das wollen wir im Experiment ausnutzen. Wir bringen einen Probekörper in das Magnetfeld und überprüfen die Kraftwirkung.

Die Materialien sollten in jeder Sammlung verfügbar sein. Der Aufbau lässt keine qualifizierten quantitativen Aussagen zum Experiment zu, ist aber für eine qualitative Aussage ausreichend.

05 Experiment Aufbau

zu 1. Abhängigkeit vom Spulenstrom I

Wir wählen eine Spule mit einer festen Länge (l=6,5 cm) und der Windungszahl (N=600). Jetzt variieren wir den Stromfluss und nehmen die Kraftwirkung in Abhängigkeit vom Strom auf.

Wir stellen fest:

{\large \displaystyle \begin{array}{l}\frac{I}{F}\,=\,konst.\\\Rightarrow \,I\,\sim \,F\,\,\Rightarrow \,B\,\sim \,I\end{array}}

zu 2. Abhängigkeit von der Windungszahl N

Wir stellen fest:

{\large\displaystyle \begin{array}{l}\frac{N}{F}\,=\,konst.\\\Rightarrow \,N\,\sim \,F\,\,\Rightarrow \,B\,\sim \,N\end{array}}

zu 3. Abhängigkeit von der Länge der Spule

Die verwendeten Spulen haben alle die Länge l=6,5 cm. Wir kombinieren die Spulen mit den Windungszahlen (2×75, 2×150, 2×300, 600, 900) zur Gesamtwindungszahl 900 und variieren das Potentiometer so, dass in jeder Messung der Spulenstrom 4 A beträgt. In Abhängigkeit von der Länge der Spule messen wir die Kraft F

Wir stellen fest:

{\large\displaystyle \begin{array}{l}\text{l}\,\cdot \,F\,=\,konst.\\\Rightarrow \,F\,\sim \,\frac{1}{\text{l}}\,\,\Rightarrow \,B\,\sim \frac{1}{\text{l}}\end{array}}

Zusammenfassung der Versuche

Aus den Versuchen 1 bis 3 können wir zusammenfassen:

{\large \left. \begin{array}{l}B\,\sim \,I\\\\B\,\sim \,N\\\\B\,\sim \,\frac{1}{\text{l}}\end{array} \right\}\,B\,\sim \,\frac{I\,\cdot \,N}{\text{l}}\,\,\,\Rightarrow \,\frac{B\,\cdot \,\text{I}}{I\,\cdot \,N}\,=\,konst.}

Es existiert ein Proportionalitätsfaktor µ0.

µ0 – ist die magnetische Feldkonstante bzw. die Permeabilität des Vakuums.

{\large {{\mu }_{0}}\,=\,1,26\,\cdot \,{{10}^{-6}}\,\frac{\text{Tm}}{\text{A}}}

Für das homogene Magnetfeld im inneren einer langen Spule gilt:

{\large (1)   B\,=\,{{\mu }_{0}}\cdot \frac{I\,\cdot \,N}{\text{l}}} 

Einheitenbetrachtung zu µ0

Zur Einheitenbetrachtung stellen wir die Gleichung (1) nach µ0 um. Die Windungszahl N hat keine Einheit (bzw. die Einheit 1).

{\large \begin{array}{l}{{\mu }_{0}}\,=\,\frac{B\,\cdot \,\text{l}}{I\,\cdot \,N}\\\\\left[ {{\mu }_{0}}\,=\,\frac{B\,\cdot \,\text{l}}{I\,\cdot \,N} \right]\,=\,1\,\frac{T\,\cdot \,m}{A}\end{array} }

06 magnetische Flussdichte B=f(x) im Innenraum der Spule

Korrekturfaktor für Spulenlänge

{\large B\,=\,{{\mu }_{0}}\cdot \,\frac{I\,\cdot \,N}{l}\,\cdot \,\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \frac{2r}{l} \right)}^{2}}\,\,}}  }

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