Induktion

Schlagwörter: Magnetfeld, Induktion, Induktionsgesetz, zeitlich veränderliches Magnetfeld, magnetische Feldlinien, magnetischer Fluss, Änderung

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld verursacht in einem Leiter einen Stromfluss. Dieser Vorgang heißt Induktion.

Die Induktionsspannung Uind können wir am Voltmeter ablesen. Dazu wählen wir am Multimeter die folgenden Einstellungen:

  • Betriebsart: Mittelpunkt-Null
  • Messbereich 3 V 

Je nach Bewegungsrichtung des Magneten, können wir erkennen, dass der Zeiger des Messgerätes in die eine oder andere Richtung ausschlägt.

Je schneller die Bewegung, desto höher die induzierte Spannung.

Je größer die Windungszahl, desto höher die induzierte Spannung.

Wie kommt es zur Induktion?

Wir gehen zunächst davon aus, dass die Vektoren von Magnetfeld { \overrightarrow{B} } und Bewegungsrichtung { \overrightarrow{v} }  senkrecht aufeinander stehen.

Auf bewegte Ladungsträger wirkt im Magnetfeld die LORENTZkraft {\overrightarrow{{{F}_{L}}}}.

Nach der Linken-Hand-Regel wirkt die LORENTSKraft in Richtung des Metallstabs. Die im Leiter befindlichen freien Elektronen, werden in diesem Aufbau nach unten gedrängt. Am unteren Ende des Stabs herrscht ein Elektronenüberfluss, ab oberen Ende ein Elektronenmangel. Diese Ladungsträgerdifferenz können wir als Spannung nachweisen.

... Kupferstab auf Leiterbahn über Magnetfeld
hand-links-lorentz

Wir können Induktion beobachten, wenn sich

  • die Stärke des Magnetfeldes ändert
  • die eingeschlossene Fläche ändert
  • die eingeschlossene Fläche und das Magnetfeld ändern.

Wenn sich der Magnet bewegt, sich aber das Magnetfeld nicht ändert (Anzahl der Feldlinien in der Spule bleibt konstant), dann tritt keine Induktion auf.

Induktion und etwas Mathematik

Die zeitliche Änderung des Magnetfeldes in der Leiterschleife führt zur Induktion.

{\frac{d\Phi }{dt}\,\ne \,0\,\Rightarrow \,Induktion\,\,einer\,\,Spannung  }

Das Produkt aus Fläche { \overrightarrow{A} } und magnetischer Feldstärke { \overrightarrow{B} } bezeichen wir als magnetischen Fluss Φ.

{\large \overrightarrow{B}\,\bot \,\overrightarrow{A} }

Wie können wir die Induktionsspannung berechnen?

Die LORENTZKraft auf die Elektronen ist nach unten gerichtet. Zwischen den Elektronen, die sich am unteren Rand „verdichten“, wirken elektrostatische Abstoßungskräfte.

Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der LORENTZKraft und der elektrostatischen Kraft ein. Die Kräfte haben den gleichen Betrag und eine entgegengesetzte Richtung.

{\large \displaystyle \,\,-\overrightarrow{{{F}_{L}}}\,\,\,\,\,=\,\overrightarrow{{{F}_{el}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{F}_{L}}\,=\,e\cdot v\cdot B\,\,\,\,\,\,(\overrightarrow{v}\,\bot \,\overrightarrow{B})\,\,\,;\,\,\,{{F}_{el}}\,=e\cdot U }

{\large \displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{F}_{L}}\,=\,e\cdot v\cdot B\,\cdot \,\sin \measuredangle \left( \overrightarrow{v},\,\overrightarrow{B} \right)}

Wir gehen zunächst davon aus, dass die Bewegung senkrecht zu den magnetischen Feldlinien erfolgt.

{\large  \begin{array}{l}e\cdot v\cdot B\,=\,e\cdot E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E\,=\frac{{{U}_{ind}}}{d}\\\,\,\,\,\,v\,\cdot \,\,B\,=\,\frac{{{U}_{ind}}}{d}\\{{U}_{ind}}\,=\,B\,\cdot \,d\,\cdot \,v\end{array}}

 Für die Induktionsspannung Uind in einer Leiterschleife gilt dann:

{\large \begin{array}{l}{{U}_{ind}}\,=\,B\,\cdot \,d\,\cdot \,v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v=\,\frac{\Delta s}{\Delta t}\\\\{{U}_{ind}}\,=\,B\,\cdot \,d\,\cdot \,\frac{\Delta s}{\Delta t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta s\cdot d=\Delta A\\\\{{U}_{ind}}\,=\,B\,\cdot \,\frac{\Delta A}{\Delta t}\end{array}  }

Das Produkt aus Fläche A und magnetischer Feldstärke B ist der magnetische Fluss Φ.

Für eine Leiterschleife mit einer Windung gilt dann:

{\huge {{U}_{ind}}\,=\,\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}}

Für eine Spule mit n-Windungen gilt:

{\huge {{U}_{ind}}\,=\,n\,\cdot \,\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}}

Die momentane Induktionsspannung ist der Grenzwert für Δt ->0:

Induktionsgesetz

Nach der LENZschen Regel, ist der Induktionsstrom stets so gerichtet, dass er der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. Damit wird die „Richtung der Induktion“ klar. Bei der Herleitung der oben benannten Formel, haben wir ausschließlich Beträge betrachtet. Wir haben aber schon im Einstieg gesehen, dass {\displaystyle -\overrightarrow{{{F}_{L}}}\,=\,\overrightarrow{{{F}_{el}}}\,  } und diese beiden Kräfte entgegengesetzt gerichtet waren. Das müssen wir auch in der Formel zum Induktionsgesetz berücksichtigen und ergänzen ein negatives Vorzeichen.

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld in einer Leiterschleife erzeugt eine Induktionsspannung Uind.

Es gilt:

{\huge {{U}_{ind}}\,=\,-\,n\cdot \,\frac{d\Phi }{dt}\,=\,-n\cdot \,\overset{\centerdot }{\mathop \Phi }\,   }

Wie kann sich der magnetische Fluss ändern?

  1. Änderung der Fläche A
  2. Änderung der magnetischen Flussdichte B
  3. Änderung der Fläche A und der magnetischen Flussdichte B

Für ebene Flächen, die sich senkrecht zu den Feldlinien befinden gilt:

{\large\Phi =\overrightarrow{A}\,\cdot \,\overrightarrow{B}}      B-Feld homogen; A – nicht gekrümmt

Änderung von Fläche und magnetischer Flussdichte

Wir betrachten zunächst die allgemeine Form, in der sich die Fläche und die magnetische Flussdichte ändern können.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{U}_{ind}}\,=\,-\overset{\centerdot }{\mathop \Phi }\,\,=\,-\frac{d\Phi }{dt}=\,-\frac{d}{dt}\left( B\cdot A \right)\\\\nach\,\,der\,\,Produktregel\,\,gilt:\\\\{{U}_{ind}}\,=\,-\left( \frac{dA}{dt}\,\cdot B\,+\,\frac{dB}{dt}\,\cdot A \right)\end{array}  }

Änderung der Fläche A

{\large  \displaystyle \begin{array}{l}{{U}_{ind}}\,=\,-\left( \frac{dA}{dt}\,\cdot B\,+\,\frac{dB}{dt}\,\cdot A \right)\\\\da\,\,B=konstant, \,\,gilt:\\\\{{U}_{ind}}\,=\,-\left( \frac{dA}{dt}\,\cdot B\,+\,\underbrace{\frac{dB}{dt}\,\cdot A}_{=\,0} \right)\\\\{{U}_{ind}}\,=\,-\frac{dA}{dt}\,\cdot B\end{array} } 

Änderung der magnetischen Flussdichte B

 {\large \displaystyle \begin{array}{l}{{U}_{ind}}\,=\,-\left( \frac{dA}{dt}\,\cdot B\,+\,\frac{dB}{dt}\,\cdot A \right)\\\\da\,\,A=konstant, \,\,gilt:\\\\{{U}_{ind}}\,=\,-\left( \underbrace{\frac{dA}{dt}\,\cdot B}_{=\,0}\,+\,\frac{dB}{dt}\,\cdot A \right)\\\\{{U}_{ind}}\,=\,-\frac{dB}{dt}\,\cdot A\end{array}   }

Handout-Schülervortrag