Strom I(t) am Kondensator

Schlagwörter: Strom, Stromstärke, Kapazität, Herleitung, Kondensator, Ladestrom, Entladestrom

zur Kapazität C

Nach der Maschenregel (Kirchhoffsche Gesetze) gilt:

1.

{\large \displaystyle {{U}_{ges}}(t)\,+\,{{U}_{R}}(t)\,+\,{{U}_{C}}(t)\,\,=\,\,0}

  • Uges (t) – Klemmspannung
  • UR (t) – Spannungsabfall am Widerstand
  • UC (t) – Spannungsabfall am Kondensator

2.

{\large \displaystyle {{U}_{ges}}(t)\,+\,R\centerdot I(t)\,+\,\frac{Q(t)}{C}\,\,=\,\,0}

Q(t) sei die in der Zeit  t auf den Kondensator geflossene Ladung

{\large \displaystyle C\,=\,\frac{Q}{U}\,\,\,\,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,U\,=\,R\centerdot I}

{\large \displaystyle I(t)\,=\,\frac{dQ}{dt}\,=\,\dot{Q}\,}

Uges(t) = konstant

Ableitung von Gleichung 2 nach der Zeit

3.

Uges(t) = konstant, daher muss die Ableitung nach der Zeit Null sein – „keine Änderung“

|:R

4.

{\large \displaystyle \dot{I}(t)\,+\,\frac{1}{RC}\centerdot I(t)\,\,=\,0}

Gleichung 4 enthält neben I(t) auch die Ableitung von I(t) → İ    Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung.

5.

{\large \displaystyle \int{\frac{\dot{I}(t)}{I(t)}}\,dt\,\,=\,\,\,\int{-\frac{1}{RC}dt}=\,\,\,\,\,-\frac{1}{RC}\int{dt}}

Da der Faktor  R·C  eine Konstante ist, folgt:                 

{ \displaystyle \int{c\,dx\,=\,}c\int{dx}}        

6.

{\large \displaystyle \ln \frac{I(t)}{I({{t}_{0}})}\,\,\,=\,\,\,\,\,\,-\frac{1}{RC}\left( t\,-\,{{t}_{0}} \right)}

{ \displaystyle \int{\frac{1}{x}dx\,\,=\,\,\ln \,(x)\,\,+\,c}}

7.

{\large \displaystyle {{e}^{\ln \frac{I(t)}{I({{t}_{0}})}}}\,\,=\,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}(t-{{t}_{0}})}}}

Logarithmengesetze

8.

{\large \displaystyle \frac{I(t)}{I({{t}_{0}})}\,\,=\,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}\centerdot t}}\,\,\centerdot \,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}\,\centerdot {{t}_{0}}}}}

Potenzgesetze

Ist der Kondensator zum Zeitpunkt t0  ungeladen,

so gilt:  Q0 = 0  → I(t0) = I0 ,          

da t0 = 0   {\large \displaystyle \Rightarrow \,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}\centerdot {{t}_{0}}}}\,\,=\,\,1}

{ \displaystyle {{e}^{0}}\,\,=\,\,1}

{\large \displaystyle I(t)\,=\,\,\,-{{I}_{0}}\,\centerdot \,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}\centerdot t}}\,}

{\large \displaystyle I(t)\,=\,\,\,{{I}_{0}}\,\centerdot \,\,{{e}^{-\,\frac{1}{RC}\centerdot t}}\,}