Potenzgesetze
Schlagwörter: Potenzgesetze, Rechnen mit Potenzen, Hochzahl, Exponent, Basis
Wir wissen bereits, dass wir die Summe mehrerer gleicher Zahlen auch in einem Produkt zusammenfassen können.
3+3+3+3+3+3=6·3
oder allgemein: {\large \underbrace{a+a+…….+a}_{n-mal\,der\,Summand\,a}=\,n\cdot a}
- Können wir auch ein Produkt aus n gleichen Faktoren zusammenfassen?
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
Hier hilft die Potenzrechnung:
{\large \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{n-mal\,\,der\,\,Faktor\,\,2}=\,{{2}^{6}} }
Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
Potenzgesetze
Allgemein gelten die folgenden Gesetze:
{\large {{a}^{1}}=a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{0}}=1\,(f\ddot{u}r\,a\ne 0)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{-n}}\,=\,\frac{1}{{{a}^{n}}\,}\,\left( f\ddot{u}r\,a\ne 0\,\wedge \,n\,\in \,\mathbb{N} \right) }
Wie der oberen Zeile bereits zu entnehmen ist, ist 00 nicht definiert.
Für alle reellen Zahlen a und b; {a\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge a\ne 0} und {\large b\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge b\ne 0 }
{\huge \displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{a}^{m}}} {{{a}^{n}}}\,=\,{{a}^{m-n}}\\\\{{a}^{m}}\cdot {{b}^{m}}\,=\,{{\left( a\cdot b \right)}^{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}}\,=\,{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}\\\\{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}=\,{{a}^{m\,\cdot \,n}}\end{array} }
Beispiele:
- 43 · 45 = 43+5 = 48
35 · 25 = (3·2)5
- { \frac{{{10}^{4}}}{{{10}^{6}}}\,=\,{{10}^{4-6}}\,=\,{{10}^{-2}}\,=\,\frac{1}{{{10}^{2}}}}
Eine Potenz, die in der Schulmathematik selten auftritt, ist der Potenzturm.
{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{{{m}^{n}}}}=\,{{\left( a \right)}^{{{m}^{n}}}}\\\\z.B.:\,\,{{a}^{{{2}^{3}}}}=\,{{a}^{8}}\,,\,\,weil\,{{2}^{3}}=8\end{array}}