Potenzgesetze

Schlagwörter: Potenzgesetze, Rechnen mit Potenzen, Hochzahl, Exponent, Basis

Wir wissen bereits, dass wir die Summe mehrerer gleicher Zahlen auch in einem Produkt zusammenfassen können.

3+3+3+3+3+3=6·3

oder allgemein: ${\large \underbrace{a+a+…….+a}_{n-mal\,der\,Summand\,a}=\,n\cdot a}$

Können wir auch ein Produkt aus n gleichen Faktoren zusammenfassen?

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64

Hier hilft die Potenzrechnung:

${\large \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{n-mal\,\,der\,\,Faktor\,\,2}=\,{{2}^{6}} }$

Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

Potenzgesetze

Allgemein gelten die folgenden Gesetze:

${\large {{a}^{1}}=a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{0}}=1\,(f\ddot{u}r\,a\ne 0)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{-n}}\,=\,\frac{1}{{{a}^{n}}\,}\,\left( f\ddot{u}r\,a\ne 0\,\wedge \,n\,\in \,\mathbb{N} \right) }$

Wie der oberen Zeile bereits zu entnehmen ist, ist 0⁰ nicht definiert.

Für alle reellen Zahlen a und b; ${a\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge a\ne 0}$ und ${\large b\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge b\ne 0 }$

${\huge \displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{a}^{m}}} {{{a}^{n}}}\,=\,{{a}^{m-n}}\\\\{{a}^{m}}\cdot {{b}^{m}}\,=\,{{\left( a\cdot b \right)}^{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}}\,=\,{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}\\\\{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}=\,{{a}^{m\,\cdot \,n}}\end{array} }$

Beispiele:

4³ · 4⁵ = 4³⁺⁵ = 4⁸
3⁵ · 2⁵ = (3·2)⁵
${ \frac{{{10}^{4}}}{{{10}^{6}}}\,=\,{{10}^{4-6}}\,=\,{{10}^{-2}}\,=\,\frac{1}{{{10}^{2}}}}$

Eine Potenz, die in der Schulmathematik selten auftritt, ist der Potenzturm.

${\large \displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{{{m}^{n}}}}=\,{{\left( a \right)}^{{{m}^{n}}}}\\\\z.B.:\,\,{{a}^{{{2}^{3}}}}=\,{{a}^{8}}\,,\,\,weil\,{{2}^{3}}=8\end{array}}$