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Das Gesetz von BOYLE und MARIOTTE

Schlagwörter: Gasgesetz, Druck, Volumen, Temperatur, Experiment, Boyle-Mariotte

V(p); T=konstant      

In diesem Experiment wollen wir die Abhängigkeit des Volumens vom Druck untersuchen. Dabei müssen wir die Temperatur konstant halten. Das gelingt mit der Apparatur in Bild 01. Das Experiment geht auf die Untersuchungen von Robert Boyle und Edme Mariotte zurück. 

Gasgesetze Boyle Mariotte
01 Aufbau Gesetz von BOYLE und MARIOTTE

In einer Glasröhre befindet sich eine Kugel, die die Röhrenenden luftdicht voneinander trennt. Mit Hilfe der Spritze wird der Druck im vorderen Ende der Röhre variiert. Dieser Druck kann auf dem Manometer abgelesen werden.

Wenn sich der  Druck im vorderen Ende der Röhre erhöht, dann wird die Kugel nach rechts gedrückt, bis sich auf beiden Seiten ein Gleichgewicht zwischen den Drücken einstellt.

Wenn der Kolben der Spritze herausgezogen wird, dann entsteht auf der linken Seite ein Unterdruck. Die Kugel bewegt sich nach links. An der Skala hinter der Röhre kann das eingeschlossene Volumen abgelesen werden.

Es wird das rechts eingeschlossene Volumen in Abhängigkeit vom Druck aufgenommen. Die Messwerte werden in einem p-V-Diagramm abgetragen.

02 Meswerttabelle
03 p-V-Diagramm

Am Graphen erkennen wir schnell, dass der Zusammenhang von Druck und Volumen nicht proportional ist. Welche weiteren Zusammenhänge können wir vermuten?

Hypothesen zum Zusammenhang von p und V

Hypothesen:

  • exponentieller Zusammenhang
  • quadratischer Zusammenhang
  • potentieller Zusammenhang (antiproportional)

Die Hypothesen können wir mit den verschiedenen Regressionen überprüfen. Die Regressionen liefern die folgenden Graphen und Funktionsterme.

04 exponentielle Regression
05 quadratische Regression
06 potenz. Regression

zu 1. Passt die gefundene Funktion zu den Messwerten?

Die Passung der Messwerte zur gefundenen Funktion können wir mit dem Korrelationskoeffizienten R bzw. dem Bestimmtheitsmaß R2 überprüfen.

R nimmt Werte zwischen -1 und 1 an, R2 nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Je näher R2 an 1, desto besser der gefundene Zusammenhang. Je näher R2 an Null, desto schlechter der Zusammenhang.

Für R gelten die Aussagen dementsprechend. Je weiter R von Null entfernt ist, desto besser passen die Werte zur gefundenen Funktion.

Für R2=1 bzw. R=1 oder R=-1 gilt, dass die Werte perfekt passen. Auf den mathematischen Zusammenhang wird hier näher eingegangen.

In allen drei Regressionen ist das Bestimmtheitsmaß größer als 0,99. Das bedeutet, dass die mathematische Passung in allen Fällen gegeben ist.

zu 2. Ist der gefundene Zusammenhang physikalisch sinnvoll?

exponentielle Regression

Die exponentielle Regression liefert die Gleichung   {\large y=61,4\cdot {{e}^{0,828\cdot x}}}

Dabei steht in dieser Gleichung y für das Volumen und x für den Druck.

  {\large V\left( p \right)=61,4\cdot {{e}^{0,828\cdot p}}}

Wenn wir für den Druck 0 einsetzen würden, dann würden wir ein Volumen von 61,4 cm2 erhalten. Das ist nicht sinnvoll, da wir auch das Volumen beliebig expandieren könnten.

Damit können wir feststellen, dass der exponentielle Zusammenhang physikalisch nicht sinnvoll ist.

quadratischer Zusammenhang

Die quadratische Regression liefert die Gleichung {\large  y=10,8\cdot {{x}^{2}}-47\cdot x+63}

Dabei steht in dieser Gleichung y für das Volumen und x für den Druck.

 {\large V\left( p \right)=10,8\cdot {{p}^{2}}-47\cdot p+63}

Im Bereich der Messwerte liefert der Graph eine gute Deckung mit den aufgenommenen Messwerten. Wenn wir den Graphen der Funktion aber fortsetzen (Extrapolation), dann erkennen wir, dass der gefundene Zusammenhang physikalisch nicht sinnvoll ist. Der Graph steigt für Drücke über 2,2 bar wieder an. Praktisch würde das bedeuten, dass für größere Drücke auch das Volumen steigt. Das ist physikalisch nicht sinnvoll. Daher können wir auch den quadratischen Zusammenhang verwerfen.

potentieller Zusammenhang

Die potentielle Regression liefert die Gleichung {\large y=26,4\cdot {{x}^{-1,094}}}

Dabei steht in dieser Gleichung y für das Volumen und x für den Druck.

{\large V\left( p \right)=26,4\cdot {{p}^{-1,094}}}

Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um Messwerte handelt und unsere Ausgangswerte nur zwei signifikante Stellen hatten, dann müssen wir auch in der erhaltene Gleichung sinnvoll runden.

{\large V\left( p \right)=26,4\cdot {{p}^{-1}}\,=\,\frac{26,4}{p}}

Wir erkennen, dass {\huge V\sim \frac{1}{p}}

Weitere Überprüfungen des Zusammenhangs können mit Hilfe der Linearisierung vorgenommen werden.