Linearisierung

Schlagwörter: Regression, Linearisierung, mathematischer Zusammenhang, Substitution, linear,

Was ist eine Linearisierung?

Unser Gehirn ist in der Lage, Geraden und Kreise klar zu erkennen. Unser Gehirn ist aber nicht in der Lage, Parabelausschnitte von Hyperbeln oder Exponentialfunktionen zu unterscheiden. Ziel der Linearisierung ist es, durch geeignete Substitution der Größen, nicht lineare Zusammenhänge in lineare Zusammenhänge zu überführen.

Wie geht das?

Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel, eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Körper wird aus der Ruhe mit a=4  {\frac{m}{{{s}^{2}}}}  beschleunigt.

Wir vermuten, dass s~t2.

Ziel ist es, den quadratischen Zusammenhang in einen linearen Zusammenhang zu überführen. Dazu substituieren (ersetzen) wir t2 durch k.

Warum machen wir das?

Wenn s proportional zu t2 und t2=k, dann ist s proportional zu k. Wenn s~k, dann ist der Graph eine Ursprungsgerade.

Es gilt dann:

t2 = k

Nach der Linearisierung t2=k, liegen die Punkte auf einer Geraden. Der vermutete Zusammenhang war also richtig.

Abstandsgesetz

Hierzu betrachten wir die Werte, die wir beim Experiment zur Zählrate der γ-Strahlung in Abhängigkeit vom Abstand aufgenommen haben.  

zum Experiment

Wir vermuten, dass die Zählrate N antiproportional zum Quadrat des Abstands ist.

{\large N(s)\,\tilde{\ }\,\frac{1}{{{s}^{2}}}}

Linearisierung – zum Abstandsgesetz

Substitution: N~1/s2 

lin. Darstellung: N ~ k , wenn k=1/s2

Tabelle mit Substitution
linearisierte Darstellung

Am linearisierten Diagramm erkennen wir, dass wir durch Messwerte eine Gerade legen können. Die Korrelation ist mit 0,98 annehmbar.

Damit können wir die Vermutung, dass die Zählrate antiproportional zum Quadrat des Abstands ist  bestätigen.

{\huge  N\left( s \right)\,\tilde{\ }\,\frac{1}{{{s}^{2}}} }