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Gasgesetze

Schlagwörter: Gasgesetz, ideales Gas, reales Gas, Druck, Volumen. Temperatur, Boyle Mariotte, Amontons, Gay-Lussac, Experimente

Den Zustand eines idealen Gases können wir mit den Größen Druck, Volumen und Temperatur beschreiben. Diese drei Größen und deren Abhängigkeit voneinander wollen wir im Folgenden untersuchen. Dazu werden wir eine Idealisierung vornehmen müssen, die des idealen Gases.

Ideales Gas

Das ideale Gas ist eine Modellvorstellung zur einfacheren Beschreibung der Vorgänge in Gasen.

Dabei werden alle Teilchen des Gases als Massepunkte angenommen. Zwischen den Teilchen des Gases gibt es keine signifikanten Wechselwirkungen. Da die Gasteilchen als Massepunkte angenommen werden, nehmen die Teilchen selber kein Volumen ein. Das Volumen des idealen Gases resultiert nur aus dem Bewegungsradius der Teilchen. Im absoluten Nullpunkt (0 K) ist das Volumen eines idealen Gases Null.

Wie wir bereits beim idealen Gas gesehen haben, liegen dort einige Idealisierungen vor. Real haben alle Teilchen eine Ausdehnung. Weiter wirken zwischen den Teilchen Kräfte, die wir beim idealen Gas vernachlässigen.

Gasgesetze

Wenn wir die Zusammenhänge von den drei Größen Druck, Volumen und Temperatur untersuchen wollen, dann müssen wir je eine der Größen konstant halten und die Abhängigkeit der beiden andern Größen voneinander untersuchen.

Die Experimente zu den drei Zusammenhängen (V(p); p(T) und V(T)) sind auf den folgenden Seiten genauer dargestellt. 

Zusammenfassung der Gasgesetze

Aus den drei Experimenten haben wir die folgenden Zusammenhänge hergeleitet:

{\large \left. \begin{array}{l}Gesetz\,\,von\,\,Amontons\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T\sim p\\Gesetz\,\,von\,\,Gay-Lussac\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T\sim V\,\,\,\\Gesetz\,\,von\,\,Boyle-Mariotte\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,p\sim \frac{1}{V}\end{array} \right\}\,T\sim p\cdot V }

Wenn T~p·V, dann gilt auch:

{\huge \frac{p\cdot V}{T}=\text{konstant} }

Für eine abgeschlossene Gasmenge können wir damit die allgemeine Gasgleichung formulieren:

{\huge \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}}

 

Übungen zu den Gasgesetzen

Aufgabe 1

In einer Spritze wird bei Raumtemperatur von 20°C das Volumen vom 20 ml eingeschlossen. Der Luftdruck betrug 1000 hPa. Jetzt wird die Spritze luftdicht verschlossen.

Berechne das Volumen, auf das sich die Spritze ausdehnt, wenn sie auf 50°C erwärmt wird.

Gasgesetze

{\large  \displaystyle \begin{array}{l}geg.:\,\,\,{{T}_{1}}=20{}^\circ C\,=\,293\,K\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,ges.:\,{{V}_{2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{T}_{1}}=50{}^\circ C\,=\,323\,K\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{V}_{1}}\,=\,20\,ml\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{p}_{1}}=1000\,hPa\end{array}  }

{\large\displaystyle \begin{array}{l}Lsg.:\,\,\,\text{Laut}\,\,\text{Aufgabenstellung}\,\,\text{ist}\,\,\text{der}\,\,\text{Druck}\,\,\text{konstant}\text{, da sich}\,\,\text{die Spritze ausdehnen wird}\text{.}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Die}\,\,\text{Temperaturen}\,\,\text{m }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ssen}\,\,\text{in}\,\,\text{die}\,\,\text{Einheit}\,\,\text{Kelvin}\,\,\text{umgerechnet}\,\,\text{werden}\text{,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{da}\,\,\text{die}\,\,\text{Proportionalit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ t}\,\,\text{sonst}\,\,\text{nicht}\,\,\text{gilt}\text{.}\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}\,\,\,\,\,\xrightarrow{da\,\,{{p}_{1}}={{p}_{2}}}\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}\\\\{{V}_{2}}=\frac{{{V}_{1}}\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\\\\{{V}_{2}}=\frac{20\,ml\cdot 323\,K}{293\,K}\,=\,22\,ml\end{array} }

Die Spritze wird sich auf ein Volumen von 22 ml ausdehnen.

Aufgabe 2

Beim Versuch zum Gesetz von Boyle-Mariotte (Bild rechts) wurden die folgenden Messwerte aufgenommen. Leider sind ein paar Werte verloren gegangen. Berechne die fehlenden Werte.

Gasgesetze Boyle Mariotte

T = 22°C  → Die Temperatur bleibt während des Versuchs konstant.

                 p1 = ???        p2 = 1 bar;     p3 = 1,5 bar

                V1 = 35 cm3;  V2 = 25 cm3; V3 = ???

ges.:      p1 und V3

{\large  \displaystyle \begin{array}{l}Lsg.:\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}\,\,\,\,\,\xrightarrow{da\,\,{{T}_{1}}={{T}_{2}}}{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}={{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\\\\\,a)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{p}_{1}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{p}_{1}}=\frac{1,0\,bar\cdot 25\,c{{m}^{3}}}{35\,c{{m}^{2}}}\,\,\,=\,0,7\,bar\\\\\,b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{V}_{3}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{V}_{3}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{V}_{3}}=\frac{1,0\,bar\cdot 25\,c{{m}^{3}}}{1,5\,bar}\,\,\,=\,16,7\,c{{m}^{3}}\end{array} }

Antwort: Die fehlenden Messwerte in der Tabelle sind 0,7 bar und 16,7 cm3.

Aufgabe 3

Eine Heißluftballonhülle (unten offen) nehme ein Volumen von 2000 m3 ein. Die Außentemperatur betrage 15°C. Jetzt wird die Luft in der Hülle auf 95°C erwärmt.

  1. Begründe welche der Größen hier als konstant angenommen werden kann.
  2. Berechne das Volumen, auf das sich der Ballon vergrößert.
  3. Die Hülle des Ballons ist nicht dehnbar. Stelle eine Vermutung an, wo das größere Volumen bleibt.

V1 = 2000 m3                  ges.: V2

T1 = 15°C = 288 K

T2 = 95°C = 368 K

Da der Ballon unten offen ist, können wir davon ausgehen, dass der Druck konstant bleibt. Die Temperaturen müssen wir vor der Rechnung in die Einheit Kelvin umrechnen, da sonst die Proportionalität nicht gegeben ist.

{\large\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}\,\,\,\,\,\xrightarrow{da\,\,{{p}_{1}}={{p}_{2}}}\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}\\\\{{V}_{2}}=\,\frac{{{V}_{1}}\cdot {{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\\\\{{V}_{2}}=\,\frac{2000\,{{m}^{3}}\cdot 368\,K}{288\,K}\,=\,2556\,{{m}^{3}}\end{array} }

Die Luft im Ballon würde sich auf ein Volumen von 2556 m3 ausdehnen.

zu c)  Da sich der Ballon nicht ausdehne kann, wird die Luft über die Öffnungen im Ballon nach außen gedrückt. Aus dem heißen Ballon werden also ca. 556 m3 Luft entweichen. Dadurch wird der Ballon leichter als die ihn umgebende Luft. Der Ballon wird eine Auftriebskraft erfahren, die größer als seine Gewichtskraft ist.