h-Bestimmung mit LEDs
Schlagwörter: h-Bestimmung, LED, Planckkonstante, Plancksches Wirkungsquantum, Experiment, Quantenphysik, Photon
Auf dieser Seite wird gezeigt, wie mit einigen LEDs, einem Netzgerät und einem Voltmeter die Planck Konstante h bestimmt werden kann. Leuchtdioden, kurz LEDs, werden in Durchlassrichtung betrieben. Wenn eine ausreichend hohe Spannung anliegt (i.d.R. zwischen 1,6 V und 3,0 V) dann beginnen die LEDs zu leuchten.
Den Zusammenhang zwischen der Farbe einer LED und der Spannung, bei der sie zu leuchten beginnt, wollen wir im Folgenden untersuchen. Dazu bieten sich zwei verschiedene Varianten des Experimentes an.
- Wir messen die Spannung, ab der wir ein Leuchten wahrnehmen können.
- Wir schalten ein Amperemeter in den Stromkreis und beobachten, ab welcher Spannung wir einen Stromfluss beobachten können.
Um die LEDs vor Zerstörung zu schützen, müssen sie mit einem Vorwiderstand betrieben werden. In diesem Experiment werden wir einen Vorwiderstand von 500Ω auswählen. (zur Berechnung)
etwas Theorie zur LED
Damit die LED leuchtet, müssen die Elektronen aus dem Leitungsband mit den Löchern im Valenzband rekombinieren.
Die dabei frei werdende Energie ΔE wird in Form von Licht abgegeben.
Die Größe des Bandabstandes und damit die Größe der frei werdenden Energie, ist von der Dotierung der LED abhängig. Die Dotierung erfolgt über das Einbringen geeigneter Materialien.
1. Messen der Spannung wenn ein Leuchten zu erkennen ist
Wir wählen 7 verschiedene LEDs aus. Wir werden die Spannung messen, bei der die LED zu leuchten beginnt. Die angegebenen Wellenlängen sind Herstellerangaben. Sie bezeichnen die Wellenlänge, in der die LED mit der größten Intensität leuchtet.
Die folgenden LEDs stehen zur Verfügung:
Links zu einigen Datenblättern: LED-ir, LED-rot, LED-blau, LED-uv
(*) Das Leuchten der Infrarot LED kann mit einem Smartphone (nicht iPhone) sichtbar gemacht werden.
(**)Das Leuchten der uv-LED kann noch visuell wahrgenommen werden.
Wir bauen die Schaltung entsprechend der Abbildung auf und erhalten die folgende Messwerttabelle:
Abtragen der Werte in einem f-E-Diagramm
Wie schon bei den vorherigen h-Bestimmungen an der Photozelle und der Röntgenröhre, stellen wir auch hier die Energie des Lichtes in Abhängigkeit von der Frequenz dar.
Die Darstellung der Messwerte im f-E-Diagramm zeigt eine Gerade, die nahe am Ursprung verläuft.
Bei der h-Bestimmung mit der Photozelle, war die Verschiebung ΔE ein Maß für die Ablösearbeit der Elektronen.
Wenn wir die Regressionsgleichung in die Physik übersetzen, dann erkennen wir, dass wir die Verschiebung der Gerade vermutlich vernachlässigen können.
Gleichung mathematisch
EXCEL bzw. dem Taschenrechner können wir entnehmen:
y=0,4416·x-0,0854
Da die Frequenz hier ohne den Faktor 1014 abgetragen wurde, müssen wir diesen ergänzen. Damit ergibt sich die mathematische Form:
y=4,416·10-15x
Gleichung in Physik „übersetzen“
- Auf der y-Achse (Ordinate) haben wir die Energie abgetragen. y ⇒ E
- Auf der x-Achse (Abszisse) haben wir die Frequenz abgetragen. x ⇒ f
Welche Einheit hat 4,416·10-15? Nennen wir sie zunächst k.
{\large E\left( f \right)=4,416\cdot {{10}^{-15}}\,\textcolor{red} {k}\,\cdot \,f }
Einheitenbetrachtung:
{\large\begin{array}{l}\left[ E \right]=1\,eV;\,\,\,\left[ f \right]=\,\frac{1}{s}\\1\,eV\,=\,k\cdot \frac{1}{s}\\k\,\,\,\,\,\,\,=\,1\,eVs\end{array} }
h hat die Einheit 1 eVs.
Die Steigung des Graphen entspricht dem PLANCKschen Wirkungsquantum h.
In diesem Experiment wurde das PLANCKsche Wirkungsquantum mit
hExp. 1 = 4,42·10-15 eVs
bestimmt. Dieser Wert weicht um 7 % vom Literaturwert ab.
Literaturwert: h = 4,136·10-15 eVs
2. Messen der Spannung, wenn ein Strom fließt
In einem zweiten Versuch wollen wir die subjektive Wahrnehmung „LED leuchtet“ durch einen Messwert ersetzen. Dazu ergänzen wir die obige Schaltung durch ein Amperemeter, welches wir in Reihe zur LED schalten. Wir legen einen Wert für die Stromstärke I fest, ab der wir einen Stromfluss als relevant einschätzen.
Dieser Wert sollte deutlich unterhalb des Stromflusses liegen, bei der die LED erkennbar leuchtet. Dazu wählen wir einen konkreten Wert zwischen 1 µA und 100 µA aus. Die Auswahl ist dabei u.a. von der Qualität des Amperemeters abhängig.
Wir messen die Spannung, wenn ein Strom I>10 µA fließt.
Die Darstellung der Messwerte im f-E-Diagramm zeigt eine Gerade, die nahe am Ursprung verläuft.
Bei der h-Bestimmung mit der Photozelle, war die Verschiebung ΔE ein Maß für die Ablösearbeit der Elektronen.
Wenn wir die Regressionsgleichung in die Physik übersetzen, dann erkennen wir, dass wir die Verschiebung der Geraden auch im zweiten Versuch vermutlich vernachlässigen können. (mehr dazu hier)
- Gleichung math. y=0,3851·x-0,0966 Da die Frequenz hier ohne den Faktor 1014 abgetragen wurde, müssen wir diesen ergänzen.
- Damit ergibt sich die mathematische Form y=3,851·10-15x-0,0966
- Die schrittweise „Übersetzung der Regressionsgleichung in die Physik ist im Experiment 1 ausführlich gezeigt.
Die Steigung des Graphen entspricht dem PLANCKschen Wirkungsquantum h.
In diesem Experiment wurde das PLANCKsche Wirkungsquantum mit
hExp. 2 = 3,851·10-15 eVs
bestimmt. Dieser Wert weicht um 9,3 % vom Literaturwert ab.
Einfluss der Verschiebung ΔE
In beiden Experimenten haben wir beobachten können, dass die Ausgleichsgerade nicht exakt durch den Ursprung verlief. Obwohl die Verschiebung sehr klein war, wollen wir sie uns im Folgenden genauer ansehen.
Rein visuell, ist die Abweichung des Graphen von der Ausgleichsgerade minimal. In beiden Messreihen war die Abweichung kleiner als 0,1 eV. Für die Messwerte der Spannung entspricht das einer systematischen Abweichung von weniger als 0,1 V. Das liegt sicher an der Grenze der realisierbaren Genauigkeiten unserer Messgeräte. Wir können der Spektrenübersicht der LEDs entnehmen, dass das Licht mit einer spektralen Breite von 70 nm und mehr emittieren wird. Damit sind hier weitere Verschiebungen zu erwarten. Die LEDs leiten bzw. leuchten bereits vor der rechnerisch ermittelten Grenzspannung Ug.
Fehlerbetrachtung
Fehler der Spannungsmessung
Unser Messgerät hat eine Güte von 2,0. Das heißt, dass jeder Messwert mit 2,0% des Vollausschlags im gewählten Messbereich behaftet ist.
- Messbereich 3 V:
- Güte: 2,0 % von 3 V sind 0,06 V
Durch die Güte des Messgerätes haben wir einen absoluten Fehler ΔU von ±0,06 V.
- Ablesefehler: geschätzt ± 0,1 V
Der absolute Fehler der Spannungsmessung ergibt sich aus der Summe der absoluten Fehler. Damit ergibt sich ein absoluter Fehler der Spannungsmessung von ΔU= ± 0,16 V
Wir gehen im Folgenden von einer Messung in der Mitte des sichtbaren Spektrums aus. Dazu wählen wir die gelbe LED (λ=585 nm; Ugr =2,1 V)
{\large\displaystyle \begin{array}{l}\text{relativer}\,\,\text{Fehler}\,\text{=}\,\frac{\text{absoluter}\,\,\text{Fehler}}{\text{Messwert}}\\\frac{\Delta U}{U}\,=\,\frac{0,16\,V}{2,1\,V}\,=\,0,0762\end{array} }
Da wir Fehler nicht abrunden dürfen, ergibt sich damit ein relativer Fehler der Spannungsmessung von 0,077 bzw. 7,7 %.
Für die visuelle Messung beträgt der relative Fehler 7,7 %. Damit ergibt sich das Vertrauensintervall:
7,7 % von hExp. 1 = 4,42·10-15 eVs sind 0,34·10-15 eVs
hExp. 1 = (4,42±0,34) ·10-15 eVs
Der Tabellenwert für h = 4,136·10-15 eVs befindet sich innerhalb des Vertrauensintervalls.
Fehlerbetrachtung für Experiment 2
Für das zweite Experiment müssen wir auch den Stromfluss in der Fehlerrechnung berücksichtigen.
Auch die Strommessung ist mit einem Fehler behaftet. Die Güte des Messgerätes beträgt auch hier 2,0 also 2 % auf den Vollausschlag. Der Vollausschlag beträgt hier 100 µA. Damit beträgt der absolute Fehler des Amperemeters ± 2,0 µA. Dazu müssen wir noch den Ablesefehler von ±0,5 µA addieren. Damit beträgt der absolute Fehler der Strommessung ΔI =± 2,5 µA
relativer Fehler der Strommessung
{\large\frac{\Delta I}{I}=\frac{2,5\,\mu A}{10\,\mu A}\,=\,0,25 }
Für den relativen Fehler der h-Bestimmung aus der Fehlerfortpflanzung gilt dann:
{\large\begin{array}{l}\frac{\Delta h}{h}=\sqrt{{{\left( \frac{\Delta I}{I} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta U}{U} \right)}^{2}}}\\\\\frac{\Delta h}{h}=\sqrt{{{\left( 0,25 \right)}^{2}}+{{\left( 0,077 \right)}^{2}}}\\\frac{\Delta h}{h}=0,2616\,\approx 0,27\end{array} }
Achtung! Bei der Angabe von Fehlern darf nicht abgerundet werden.
Damit beträgt der relative Fehler der h-Bestimmung im 2. Experiment 27 %. Damit ergibt sich das Vertrauensintervall:
27 % von hExp.2 = 3,851·10-15 eVs sind 1,04·10-15 eVs
hExp. 2 = (3,85 ± 1,04) ·10-15 eVs
Der Tabellenwert für h = 4,136·10-15 eVs befindet sich innerhalb des Vertrauensintervalls.
Dafür gibt es zwei Gründe:
- Es fließen zwei Fehler (ΔU und ΔI) in die Messung ein.
- Der relative Fehler der Strommessung ist hier vergleichsweise groß. Der Fehler der Strommessung setzte sich aus dem Ablesefehler und dem Fehler des Gerätes auf Basis seiner Güte zusammen. Dieser Fehler berechnet sich stets auf Basis des Vollausschlags des Messbereiches. Da wir hier im kleinsten Strommessbereich gemessen haben, erfolgte unsere Messung bei 10 % des Vollausschlags. Auf diesen Fehler haben wir hier keinen Einfluss. Allgemein sollte man das Messen im ersten Drittel des Messbereichs vermeiden.
Warum leuchtet die LED unterhalb der berechneten Spannung?
In beiden Experimenten war zu erkennen, dass:
- unterhalb der berechneten Spannung ist ein Leuchten zu beobachten
- unterhalb der berechneten Spannung ist ein Stromfluss durch die LED messbar.
Um diesen scheinbaren Widerspruch zu klären, lohnt sich ein Blick auf das Spektrum einer LED.
Der Blick durch das Gitter zeigt, dass das Spektrum der grünen LED bis in den roten Bereich hineinreicht. Diese Beobachtungen decken sich auch mit den Herstellerangaben aus dem Datenblatt einer LED.
Aus dem Graphen zu den Spektren der LEDs können wir für die grüne LED die Grenzen lmin=520 nm und lmax =600 nm entnehmen.
Damit reicht das Spektrum der grünen LED vom roten bis in den blauen Bereich hinein. Das bestätigen auch unsere Beobachtungen am Gitter.
Wir berechnen jetzt die zugehörigen Energien und daraus die Spannungen an der LED.
{\large\left. \begin{array}{l}E=h\cdot f\\f=\frac{c}{\lambda }\end{array} \right\}E=\frac{h\cdot c}{\lambda } }
Für die langwellige Grenze:
{\large \begin{array}{l}E(600\,nm)=\frac{4,136\cdot {{10}^{-15}}\,eVs\cdot 3,0\cdot {{10}^{8}}\,m}{600\cdot {{10}^{-9}}\,m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,s}\\\\E(600\,nm)=\,2,07\,eV\end{array} }
Für die maximale Intensität:
{\large\begin{array}{l}E(560\,nm)=\frac{4,136\cdot {{10}^{-15}}\,eVs\cdot 3,0\cdot {{10}^{8}}\,m}{560\cdot {{10}^{-9}}\,m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,s}\\\\E(560\,nm)=\,2,22\,eV\end{array} }
Berechnung des Vorwiderstandes
Vor dem Erreichen der Durchbruchspannung hat die LED einen quasi unendlich hohen Widerstand.
Nach dem Erreichen der Durchbuchspannung sinkt der Widerstand der LED sehr schnell (theoretisch auf 0 Ω) ab. Wenn die LED ohne Vorwiderstand betrieben werden würde, dann würde der Stromfluss theoretisch unendlich stark ansteigen und die LED zerstören. Auch, wenn in der Praxis stets ein endlicher Widerstand in der Schaltung vorhanden ist und auch das Netzgerät keinen beliebig hohen Strom liefert, so würden die LEDs bei Strömen über 100 mA zerstört werden (einige auch schon bei deutlich kleineren Strömen). Daher müssen wir den Strom begrenzen.
Unser Netzgerät liefert eine Spannung von 12 V. Den Herstellerangaben entnehmen wir, dass die LED mit maximal 20 mA betrieben werden sollte.
{\large \begin{array}{l}{{R}_{\text{Vorwiderstand}}}=\frac{{{U}_{\text{max}}}}{{{I}_{\text{max}\text{,LED}}}}\\\\{{R}_{\text{Vorwiderstand}}}=\frac{6\,V}{20\,mA}\,=\,\frac{6\,V}{0,02\,A}=300\,\Omega \end{array} }
Für dieses Experiment sollte der Vorwiderstand ca. 300 Ω betragen. Wenn wir höhere Spannungen nutzen, dann sollte der Vorwiderstand entsprechend höher sein.
Der Vorwiderstand kann auch größer gewählt werden (z.B. 500 Ω, 1 kΩ). Es muss nur sichergestellt sein, dass:
- bei der verwendeten Spannung der Strom nicht größer wird, als der Maximalstrom durch die LED
- der Strom so groß werden kann, dass ein Leuchten an der LED zu erkennen ist
Damit wir auch die zweite Vorgabe erfüllen, hier eine Beispielrechnung zum maximalen Widerstand. Wir gehen davon aus, dass bei einem Stromfluss von 2 mA (aus der Beobachtung) ein signifikantes Leuchten der LED zu erkennen ist.
{\large\begin{array}{l}{{R}_{\text{max}\text{,LED}}}=\frac{{{U}_{\text{Netzger }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ t}}}}{{{I}_{\text{min}\text{,}\,\text{LED}}}}\\\\{{R}_{\text{max}\text{,LED}}}=\frac{6\,V}{2\,mA}\,=\,\frac{6\,V}{0,002\,A}=3\,k\Omega \end{array} }
Der Vorwiderstand sollte also kleiner als 3 kΩ gewählt werden.
Diese Berechnung wird in der Praxis nicht angestellt. Sie sollte nur ein Gefühl für die Größenordnung des Vorwiderstandes vermitteln.
Weitere Möglichkeiten der h-Bestimmung: