Experimente zur Bestimmung der Halbwertzeit

Schlagwörter: Halbwertzeit, Halbwertszeit, T ½, Experiment, Isotop, Zerfall, Isotopengenerator

Zur Bestimmung der Halbwertzeit sind die klassischen Schulpräparate wie Am-241, Sr-90, Ra-226 nicht geeignet, da sie alle relativ lange Halbwertzeiten (30 Jahre bis 1600 Jahre) haben. Hier können in einer Schulstunde keine sinnvollen Messwerte aufgenommen werden. Präparate mit kürzeren Halbwertzeiten wären für die Physiksammlung ungeeignet, da sie nach kurzer Zeit fast vollständig zerfallen wären.

Um in einer Unterrichtsstunde die Halbwertzeit experimentell zu bestimmen, benötigen wir Präparate, die Halbwertzeiten im Bereich einiger Minuten haben.

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1. Isotopengenerator

Ein einfaches und in vielen Sammlungen vorhandenes Experiment ist der Isotopengenerator bzw. die „radioaktive Kuh“.

Hier wird aus Cs-137 mit einer Halbwertzeit von 30,25 Jahren Barium (Ba-137m) ausgewaschen. Barium 137m befindet sich in einem angeregten Zustand. Unter Aussendung von γ-Strahlung fällt Ba-137m in den Grundzustand zurück.

„Der Cs/Ba-137m Isotopengenerator ist ein offenes Präparat und dient zur wiederholten Herstellung einer kurzlebigen radioaktiven Lösung. Im Isotopengenerator befindet sich die Muttersubstanz Cs-137 an einen schwerlöslichen Komplex gebunden. Die beim ß-Zerfall des Cs-137 entstehenden metastabilen Isotope

Ba-137m werden zu Versuchsbeginn mit einer angesäuerten Kochsalzlösung aus dem Isotopengenerator gespült (eluiert). Das Eluat stellt dann eine kurzlebige Strahlungsquelle mit einer Halbwertszeit von 2,551 Minuten dar. …

Ba-137 ist ein Zerfallsprodukt der langlebigen Muttersubstanz Cs-137, deren Halbwertszeit ca. 30 Jahre beträgt. Cs-137 zerfällt unter Emission von ß-Strahlung zu Ba-137. Dieser Übergang erfolgt zu 95% in den metastabilen Zustand Ba-137m, der mit einer Halbwertszeit von nur 2,551 min unter Emission von γ-Strahlung in den Grundzustand von Ba-137 zerfällt.

Bei der Elution wird Barium aus dem Isotopengenerator ausgewaschen. Neben dem metastabilen Ba-137m wird auch das im Grundzustand vorliegende Ba-137 ausgewaschen. Als radioaktiver Strahler tritt aber nur das Ba-137m in Erscheinung. Beim Übergang in den Grundzustand wird γ-Strahlung mit einer Energie von 662 keV ausgestrahlt. …“//LD-didactic, Anleitung Nr. 559 815

Mit Ba-137m haben wir ein radioaktives Präparat, welches über eine relativ kurze Halbwertzeit verfügt.

Experiment und Messwerte

  • Zählrohr mit Stativ
  • Uhrglas mit radioaktiver Probe
  • Isotopengenerator Cs-137
  • Zählgerät
  • Elutionslösung und Spritze

Das metastabile Isotop Ba-137m wird aus dem Isotopengenerator ausgewaschen. Die Lösung wird in einem Uhrglas oder einem Reagenzglas gesammelt. Das GMZ wird entsprechend der Abbildung positioniert und es werden die Messwerte aufgenommen. Vor dem Experiment sollte die Nullrate der Umgebung bestimmt werden.

Das betrachtete Präparat hat eine Halbwertzeit zwischen zwei und drei Minuten. Damit dürfen wir das Messintervall nicht zu lang wählen, da sich sonst während der Messung die Zählrate signifikant ändert. Die Zählrate muss aber auch so lang sein, dass eine ausreichende Anzahl von Impulsen aufgenommen werden kann.

Damit sollte das Messintervall zwischen 5 s und 15 s liegen.

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Abnahme der Zährate im jeweiligen Messintervall. Dabei wurde eine Halbwertzeit von 150 s angenommen. Bei einem Messintervall von 30 s sinkt die Zählrate während der Messung um ca. 13%.

Messwerte und Auswertung

Die Nullrate wurde vor dem Experiment mit 3 Imp/s aufgenommen.    

Es wird jeweils über eine Zeit von 10 s gemessen. Die Messungen beginnen im Abstand von 15 s. Denn Messwerten können wir entnehmen, dass die Zählrate tendenziell mit der Zeit abnimmt.

Zur Auswertung stellen wir die Werte graphisch dar. Diese Darstellung kann mit

  • EXCEL
  • dem Taschenrechner
  • händisch

… erfolgen. Im Anschluss führen wir eine Regression durch.

Welche Regression ist geeignet?  

Wir wählen die exponentielle Regression. (Begründung hier) Die Regression liefert die Gleichung:

{ \large  y=111,7\cdot {{e}^{-0,004x}} }

Die Korrelation ist für die Anzahl der Messwerte sehr gut und zeigt eine hohe mathematische Passung der gefundenen Kurve.

Übersetzen der Gleichung in die Physik

{ \large \displaystyle \begin{array}{l}y\,\,\,\,\,\,\,=111,7\cdot {{e}^{-0,004x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\downarrow {{\,}^{Physik}}\,\\N(t)\,=\,111,7\cdot {{e}^{-0,004\cdot t}}\end{array} }

Die genauen Schritte bei der „Übersetzung“ der Regressionsgleichung werden hier beschrieben.

Bestimmung der Halbwertzeit

Die Regression liefert die Gleichung

{ \large \displaystyle N(t)\,=\,111,7\cdot {{e}^{-0,004\cdot t}}}

Die Halbwertzeit ist erreicht, wenn sich die Zählrate halbiert hat.

{ \large \displaystyle \begin{array}{l}N(t)\,\,\,\,\,\,=\,111,7\cdot {{e}^{-0,004\cdot t}}\\\\\frac{111,7}{2}\,=\,111,7\cdot {{e}^{-0,004\cdot t}}\,\,\left| :111,7 \right.\\\\0,5\,\,=\,{{e}^{-0,004\cdot t}}\end{array}}

Jetzt gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten. Wir können die Gleichung mit Hilfe der solve-Funktion nach t auflösen, oder die Kenntnisse aus den Logarithmengesetzen nutzen.

solve-Funktion mit dem Taschenrechner

algebraische Lösung

{\begin{array}{l}0,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,{{e}^{-0,004\cdot t}}\,\,\,\,\left| \ln () \right.\\\\\ln \left( 0,5 \right)\,=\ln \left( {{e}^{-0,004\cdot t}} \right)\\\ln \left( 0,5 \right)\,=\,-0,004\cdot t\cdot \,\overbrace{\ln (e)}^{=1}\\\\t\,\,\,\,\,\,=\,\frac{\ln \left( 0,5 \right)}{-0,004}\\\\t=\,173\,s\end{array}}

Die experimentell bestimmte Halbwertzeit beträgt 173 s bzw. 2 min und 53 s. Das Ergebnis stimmt in guter Näherung mit den Herstellerangaben (2,55 min bzw. 2 min und 33 s) überein.

 ⇒ weitere Experimente zur Halbwertzeit: