Logarithmen (Gesetze)

Schlagwörter: Logarithmen Exponentialfunktion Mantisse Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion y = loga x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. (sprich: „Logarithmus von x zur Basis a“)

Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige Zahl c für die gilt: ac = x

  • kurz: „a hoch was ist x?“

Per Definition gilt:

{\large lo{{g}_{a}}\,1\,=\,0\,\,;\,\,lo{{g}_{a}}\,a\,=\,1\,\,;\,\,{{a}^{lo{{g}_{a}}\,b}}\,=\,b}

Beispiel:

Gesucht ist der Exponent c, für den gilt: 2c = 8.

log2 8 = 3, denn 23 = 8

GeoGebra

Logarithmengesetze

{\large \begin{array}{l}a,\,b,\,{{b}_{1}}\,,\,{{b}_{2}}\,\,\in \,\mathbb{R}_{+}^{*}\,\wedge \,b\ne 1\,;\,r\,\in \,\mathbb{R}\,;\,n\in \mathbb{N}\wedge n>1\\\\1.\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}} \right)\,=\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}} \right)\,+\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{2}} \right)\\\\2.\,\,\,{{\log }_{a}}\left( \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}} \right)\,\,=\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}} \right)\,-\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{2}} \right)\\\\3.\,\,{{\log }_{a}}{{b}^{r}}\,\,=\,\,r\cdot \,{{\log }_{a}}b\\\\4.\,\,{{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}\,\,=\,\frac{1}{n}\,\cdot \,{{\log }_{a}}\,b\end{array}}

spezielle Logarithmen

Allgemein kann jede positive, von 1 verschiedene Zahl, als Basis in die Logarithmusfunktion eingesetzt werden.  Häufig wird jedoch die Basis 10 oder e (Eulersche Zahl e=2,7182818…) verwendet. Auch die Zahl 2 ist eine oft benötigte Basis. Daher hat man für diese speziellen Logarithmen vereinfachte Schreibweisen eingeführt. Die Logarithmen zur Basis 10 und zur Basis e können direkt mit dem Taschenrechner berechnet werden.

  • Logarithmus zur Basis 10 (Logarithmus dezimales) log10x = lg x
  • Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturales) loge x = ln x
  • Logarithmus zur Basis 2 (Logarithmus duales) log2 x = ld x

Zur Berechnung von Logarithmen mit Basen, die von 10 und e verschieden sind, kann folgender Zusammenhang helfen.

{\large \begin{array}{l}{{\log }_{a}}b\,=\,\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\\\\{{\log }_{a}}b\,=\,\frac{\lg \,\,b}{\lg \,\,a}\,=\,\frac{\ln \,\,b}{\ln \,\,a}\,\,=\frac{\operatorname{l}d\,\,b}{\operatorname{l}d\,\,a}\end{array}}

{\large {{a}^{c}}\,=\,{{e}^{c\cdot \ln \,a}}}

Da die Basis c im Rahmen ihres Definitionsbereiches frei wählbar ist, kann c durch 10 oder e ersetzt werden. So können auch Logarithmen mit anderen Basen mit dem Taschenrechner berechnet werden.

Rechnen mit Logarithmen

{\large \begin{array}{l}{{\log }_{10}}\,1000\,=\,3\\{{\log }_{10}}\,100\,\,\,\,=\,2\\{{\log }_{10}}\,10\,\,\,\,\,\,\,=\,1\\{{\log }_{10}}\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,0\\{{\log }_{10}}\,0,1\,\,\,=\,-1\\{{\log }_{10}}\,0,01\,=\,-2\end{array} }

Wir sehen, dass der 10-er Logarithmus jeweils die Potenzen von 10 liefert. Aber wie sieht es mit Zahlen zwischen den ganzzahligen Potenzen von 10 aus?

{\large \begin{array}{l}{{\log }_{10}}2\,=\,0,3010\\lo{{g}_{10}}20\,=\,1,3010\\lo{{g}_{10}}200\,=\,2,3010\end{array} }

Mantisse und Numerus

Wir können das Ergebnis der Berechnung des Logarithmus zur Basis 10 zerlegen. Der ganzzahlige Anteil stellt den Numerus dar, die Nachkommastellen werden als Mantisse bezeichnet.

weitere Beispiele:

Statt der Schreibweise log10 können wie auch die Kurzform lg nutzen. lg steht für den Logarithmus zur Basis 10.

lg 5483 = lg (103 · 5,483)    = lg 103  +  lg 5,483

                                                =  3        +  lg 5,483

                                                =  3        + 0,739

                                                = 3,739

lg 204.000 = lg (105 · 2,04)  = lg 105  +  lg 2,04

                                                 =  5        +  lg 2,04

                                                 =  5        + 0,3096

                                                 =  5,3096

 

 

lg 0,042 = lg (10-2 · 4,2)     = lg 10-2  + lg 4,2

                                               = -2         + lg 4,2

                                               = -2         + 0,6232

                                               = -1,3768

Wir können am Logarithmus zur Basis 10 die Größenordnung einer Zahl erkennen.

  • Die Zahlen zwischen 1 und 10 nehmen Zehnerlogarithmen zwischen 0 und 1 an.
  • Die Zahlen zwischen 10 und 100 nehmen Zehnerlogarithmen zwischen 1 und 2 an.
  • Die Zahlen zwischen 100 und 100 nehmen Zehnerlogarithmen zwischen 2 und 3 an.
  • Die Zahlen zwischen 0,1 und 1 nehmen Zehnerlogarithmen zwischen -1 und 0 an.
  • Die Zahlen zwischen 0,01 und 0,1 nehmen Zehnerlogarithmen zwischen -2 und -1 an.

Das macht man sich z.B. bei Skalen zunutze, die mehrere Zehnerpotenzen überstreichen.

Die Lautstärke-Skala in der Einheit db erstreckt sich über 15-Zehnerpotenzen. Würden wir diese Skala linear darstellen. Dann würden wir Lautstärken zwischen „Flüstern“ und „Kettensäge“ nicht im Diagramm unterscheiden können.

Die beiden folgenden Diagramme zeigen zwei Darstellungen der gleichen Messwerttabelle. Das linke Diagramm zeigt eine lineare Darstellung der y-Achse. Hier erkennen wir, dass wir die Funktionswerte von 0 (Hörschwelle) bis (Schmerzschwelle) grafisch nicht aufgelöst werden können.

Beispiele für logarithmische Skalen sind: