Lautstärke-Skala - dB
Lautstärke Skala dB Skala, Druck, Durckdifferenz, Änderung des Drucks, Logarithmus, Schall, Schalldruck, Schallintensität
Wie breitet sich der Schall aus?
Bevor wir die Laustärke Skala bzw. die dB-Skala untersuchen, sollten wir uns anschauen, wie sich der Schall ausbreitet. Am besten lässt sich das an der Membran eines Tamburins oder eines Lautsprechers verstehen. Wenn wir auf ein Tamburin schlagen, dann versetzen wir die Membran in Schwingungen. Auch die Membran eines Lautsprechers schwingt, wenn wir einen Ton abspielen. ►01 Sie wird in der Frequenz des anregenden Tons schwingen.
Die Membran versetzt die Moleküle der Luft in Schwingungen. Wenn sich die Membran bewegt, dann verdichten sich vor ihr die Luftmoleküle, hinter der Membran müssen sie sich verdünnen. So entstehen Bereiche in denen der Druck p steigt und solche, in denen der Druck sinkt. ►02
Der Druck längs der Ausbreitungsrichtung ändert sich in der Frequenz des Tons. Eine solche Ausbreitung nennen wir longitudinal. Der Schwingungsvektor steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ►02/03
Wie nehmen wir die Lautstärke wahr?
Die Druckschwankungen Δp in der Luft gelangen zu unserem Trommelfell und versetzen es in Schwingung. ► 04
Über die Gehörknöchelchen Hammer, Ambos und Steigbügel im Mittelohr, werden die Schwingungen des Trommelfells verstärkt und dann im Innenohr verarbeitet.
Effektivwert der Druckänderung
Je stärker die Änderung des Drucks Δp, desto stärker schwingt das Trommelfell.
ACHTUNG!!! Es geht hierbei nicht um den Luftdruck p, sondern um die periodische Änderung des Drucks Δp.
Die Änderung des Drucks Δp erfolgt dabei in der Frequenz f des empfangenen Tons. Δpmax bezeichnet dabei die Amplitude des Drucks. ► 05
Es gilt: {\large \displaystyle \Delta p\left( t \right)=\Delta {{p}_{\max }}\cdot \sin \left( 2\pi f\cdot t \right)}
Der effektive Druck Δpeff liegt unterhalb der maximalen Druckänderung. Es gilt:
{\large \Delta {{p}_{eff}}=\frac{\Delta {{p}_{\max }}}{\sqrt{2}} }
Hörschwelle und Schmerzgrenze - Entwicklung der Lautstärke-Skala
Die kleinste Druckänderung Δp, die unser Ohr wahrnehmen kann, beträgt ca. 20 µPa. Das ist die Hörschwelle. Unterhalb einer Druckänderung von 20 µPa können wir keine Töne wahrnehmen.
Die Schmerzgrenze liegt bei ca. 100 Pa. Es gibt natürlich auch noch Geräusche jenseits der Schmerzschwelle.
Der Bereich, in dem wir Druckänderungen wahrnehmen, erstreckt sich also über ca. 14 Zehnerpotenzen. Wenn wir diese in einem Diagramm darstellen wollen, dann ist das mit einer linearen Skala wenig sinnvoll, da hier die Bereiche der ersten Zehnerpotenzen nicht aufgelöst werden können.
Die Abbildungen ►06 a/b zeigen die Druckänderungen in zwei verschiedenen Darstellungen. Im Diagramm ►06a wurden die Werte linear abgetragen. Das bedeutet, dass zwischen gleichen Druckdifferenzen auf der y-Achse, auch gleiche Abstände bestehen. Hier lassen sich von der Hörschwelle bis zum Konzert keine Unterschiede auf der y-Achse erkennen. Wenn sich die zu betrachtenden Werte über mehrere Zehnerpotenzen erstrecken, dann ist es häufig sinnvoll, eine andere Skalierung zu wählen. In diesem Fall wählen wir eine logarithmische Skalierung der y-Achse. Du kennst diese Skalierungen ggf. schon aus dem Chemieunterricht, von der ph-Wert–Skala.
Die Entwicklung der Lautstärke Skala
Dieses Verfahren wenden wir auch bei der Skala des Schalls an und stellen den Schalldruckpegel LP in logarithmisch dar. Die Einheit ist das Dezibel (1 dB).
{\large {{L}_{P}}=20\cdot \lg \left( \frac{\Delta {{p}_{eff}}}{\Delta {{p}_{0}}} \right)\ dB }
Wie wir an der Gleichung erkennen, kürzen sich alle Einheiten heraus. Die Angabe des Schalldruckpegels hätte keine Einheit. Um die Angabe des Schalldruckpegels sofort zu erkennen, erhält sie die Einheit Dezibel (1 dB).
Die folgende Grafik ►07 gibt einen Überblick, über die Schallpegel verschiedener Alltagsgeräusche.
Die Graphik zeigt eine ungefähre Zuordnung der einzelnen „Lautstärken“ an. Eine genaue Zuordnung ist aus zwei Gründen nicht möglich.
- Die einzelnen Geräusche können variieren.
- Die Angabe eines exakten Schallpegels ist nur dann sinnvoll, wenn eine Entfernung zur Schallquelle angegeben wird.
Der letzte Punkt wird z.B. an In-Ear-Kopfhörern deutlich. Im Ohr platziert, haben die Kopfhörer einen Abstand von wenigen Millimetern zum Trommelfell und können dort viel Schaden anrichten. Liegen die gleichen Kopfhörer auf dem Tisch in 2 m Abstand, dann ist nur noch ein störendes Geräusch zu vernehmen.
Lautstärke und Abstand
Wir wollen im Folgenden die Abhängigkeit der Lautstärke vom Abstand aufnehmen. Dazu nutzen wir den Aufbau entsprechend ►08.
Wir variieren dazu den Abstand von Lautsprecher und Mikrofon. Um Umweltgeräusche für diesen Versuch weitgehend auszublenden, werden wir eine Messung mit einer Frequenz von 25 kHz durchführen. Auch das verwendete Mikrofon ist nur in einem kleinen Bereich um 25 kHz empfindlich.
Auswertung der Messreihe
Die folgenden Messwerte wurden aufgenommen und in einem Abstand-Spannung- Diagramm dargestellt. Die Spannung, die wir am Oszillographen messen, ist ein Maß für die Lautstärke.
Je größer der Abstand, desto kleiner die Lautstärke. Das war aber sicher schon vor dem Experiment klar. Die Regression ► 09 mit dem Exponenten „-0,894“ lässt vermuten, dass die Lautstärke antiproportional zum Abstand ist, also U~1/d. Um das zu überprüfen, führen wir eine Linearisierung durch.
Linearisierung des Zusammenhangs Abstand und Lautstärke
Wenn der vermutete Zusammenhang U~1/d gilt, dann ist der Graph eine Hyperbel. Diese kann unser Gehirn aber nicht klar zuordnen und ggf. von einer anderen Graphen (quadratische Hyperbel, Exponentialfunktion, …) unterscheiden. Wir können aber Geraden erkennen. Daher bedienen wir uns eines mathematischen Tricks und „verwandeln“ die Hyperbel in eine Gerade (Linearisierung). Dazu substituieren wir d und sagen: k=1/d. Wenn k=1/d, dann gilt:
U~k
Wenn U~k, dann muss der Graph eine Ursprungsgerade sein. Die Tabelle und der Graf ►10 zeigen, dass ich die Messwerte näherungsweise auf der Ausgleisgerade befinden.
Wir können davon ausgehen, dass der vermutete Zusammenhang U~1/d bestätigt wurde.
Lautstärke - objektiv und subjektiv
Die empfundene Lautstärke ist neben der Änderung des Drucks, auch von der Frequenz abhängig. Denn mittleren Frequenzbereich (ca. 500 Hz bis 5 kHz) können wir gut hören. Außerhalb dieses Bereiches nimmt die Empfindlichkeit des Gehörs ab. Das ist in einer Grafik auf der Seite von Leifi gut zu erkennen.
Die empfundene Lautstärke Ls wird in der Einheit Phone (1 phone) angegeben. Die Lautstärke Skala in Phone ist auf die Frequenz 1 kHz normiert. Bei der Frequenz von 1 kHz gilt: 1 dB = 1 phone
Oberhalb und unterhalb dieser Frequenz nimmt die empfundene Lautstärke ab.
Energetische Betrachtung der Lautstärke
Im ersten Teil haben wir uns die Druckänderung Δp am Trommelfell angeschaut. Es ist aber auch möglich, die Lautstärke durch die energetische Brille zu betrachten. Hier ist die Basisgröße die Schallintensität I. Die Schallintensität I wird in der Einheit 1 W/m2 gemessen. Die Hörschwelle liegt bei I0 = 1 pW/m2.
Der Schallintensitätspegel L berechnet sich wie folgt:
{\large \displaystyle {{L}_{P}}=10\cdot \lg \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)\,dB }
Vielfache von Lautstärken
Lautstärken - Was ist doppelt so laut?
- Sind 2 Posaunen doppelt so laut wie eine Posaune?
- Bei wie viel Dezibel Differenz empfinde ich eine Lautstärke als doppelt so laut?
Die Fragen lassen sich nicht eindeutig beantworten, da sich hier mehrere Aspekte der Lautstärke vermischen.
Die Lautstärke oder die Lautheit ist eine psychoakustische Größe. Das bedeutet, dass wir diese Größe nicht objektiv messen können. Wir können den Schalldruck und die Schallleistung konkret angeben. Wie laut jemand etwas empfindet ist aber subjektiv und hängt neben dem Schalldruck auch von der Frequenz des Tons ab. Untersuchungen mit vielen Testpersonen haben ergeben, dass die Erhöhung des Schalldruckpegels LP um 10 dB zum „Gefühl der doppelten Lautheit“ führt.
Bei sehr leisen Basissignals, wird eine Verdopplung der Lautheit bereits unter 10 dB empfunden.
Vervielfachung des Schalldrucks
Wenn sich der Schalldruck Dp verdoppelt, dann gilt:
{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{L}_{P}}=20\cdot \lg \left( \frac{\Delta {{p}_{eff}}}{\Delta {{p}_{0}}} \right)\ dB\\\\\text{Gespr }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ch}\,\ \text{1}\,\text{m}\ \text{Abstand}\ \left( \Delta p\approx 0,02\,Pa \right)\\\\{{L}_{P}}=20\cdot \lg \left( \frac{0,02\,Pa}{20\cdot {{10}^{-6}}\,Pa} \right)\ dB\\\\{{L}_{P}}=20\cdot \lg \left( 1000 \right)\ dB\\{{L}_{P}}=20\cdot 3\,dB\\{{L}_{P}}=\ 60\,dB\end{array} }
Für den doppelten Schalldruck von 0,04 Pa ergibt sich dann:
{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{L}_{P}}\left( 0,04\,Pa \right)=20\cdot \lg \left( \frac{0,04\,Pa}{20\cdot {{10}^{-6}}\,Pa} \right)\ dB\\\\{{L}_{P}}\left( 0,04\,Pa \right)=20\cdot \lg \left( 2000 \right)\ dB\\{{L}_{P}}\left( 0,04\,Pa \right)=20\cdot 3,3\,dB\\{{L}_{P}}\left( 0,04\,Pa \right)=66\,dB\end{array} }
Doppelte Lautheit bei einem 10 dB höheren Schalldruckpegel
Wie oben beschrieben, wird die Lautheit bei einer Erhöhung des Schalldruckpegels LP von ca. 10 dB empfunden. Damit können wir auch die Änderung des Schalldrucks berechnen:
{\large \displaystyle \begin{array}{l}{{L}_{P}}=20\cdot \lg \left( \frac{\Delta p}{\Delta {{p}_{0}}} \right)\,dB\quad \left| :\ 20\,dB \right.\\\\\frac{{{L}_{P}}}{20\,dB}=\,\,\lg \left( \frac{\Delta p}{\Delta {{p}_{0}}} \right)\,\ \quad \left| Logarithmengesetz \right.\\\\\frac{{{L}_{P}}}{20\,dB}=\,\,\lg \left( \Delta p \right)-\lg \left( \Delta {{p}_{0}} \right)\\\\\frac{{{L}_{P}}}{20\,dB}+\lg \left( \Delta {{p}_{0}} \right)=\,\,\lg \left( \Delta p \right)\\\\\Delta p={{10}^{\left( \frac{{{L}_{P}}}{20}+\lg \left( \Delta p \right) \right)}}\\\Delta p={{10}^{\left( \frac{{{L}_{P}}}{20} \right)}}\cdot {{10}^{\left( \lg \left( \Delta {{p}_{0}} \right) \right)}}\quad \quad \left| \Delta {{p}_{0}} \right.\ einsetzen\\\Delta p={{10}^{\left( \frac{{{L}_{P}}}{20} \right)}}\cdot 20\cdot {{10}^{-6}}\,Pa\end{array} }
Interessant ist hier der Exponent {\frac{{L}_{P}}{20} }.
- Wenn sich LP um 20 dB erhöht, dann verzehnfacht sich der Schalldruck. Das ist auch sehr gut am Exponenten abzulesen.
- Wenn sich LP um 10 dB erhöht, dann steigt der Schalldruck um den Faktor {\sqrt{10}\approx 3,16 }
- Wenn sich LP um 6 dB erhöht, dann steigt der Schalldruck um den Faktor 2.
- Wenn sich LP um 3 dB erhöht, dann steigt der Schalldruck um den Faktor {\sqrt{2}\approx 1,41 }
Beispiele Für Schallpegel und Schallpegeländerungen
Fragen zur Lautstärke Skala
Die Änderungen des Drucks werden über das Trommelfell und die Mechanismen in Mittel- und Innenohr für uns hörbar. Das beschränkt sich aber auf einen begrenzten Frequenzbereich, der bei ca. 30 Hz beginnt und bei jungen Menschen bei ca. 20 kHz endet. Außerhalb dieses Frequenzbereichs können wir nicht hören.
Die o.g. Druckänderungen erfolgen über einen längeren Zeitraum, haben also alle Frequenzen deutlich unter 1 Hz.
Nein, verschiedene Lebewesen hören unterschiedlich gut und hören auch in verschiedenen Frequenzbereichen.
Katzen z.B. können in der Nacht die Schritte von Mäusen hören. Damit liegt ihre Hörschwelle deutlich niedriger als unsere Hörschwelle.
Der Frequenzbereich, in dem Hunde und Katzen hören, reicht von ca. 20 Hz bis 60 kHz. Fledermäuse können Töne mit Frequenzen von über 100 kHz hören.