Der Rechenschieber
Schlagwörter: Rechenschieber, Rechenstab, Anwendung Logarithmen Gesetze, Logarithmus
Der Rechenschieber ist eine geniale Anwendung der Logarithmen Gesetze.
Um die Anwendung besser zu verstehen, versuchen wir zunächst mit 2 Linealen zu addieren. Dazu legen wir das Additionsneutral „0“ von Lineal B über den ersten Summanden auf Lineal A. Auf Lineal B suchen wir den 2. Summanden und können darunter auf Lineal A die Summe ablesen.
Der erste Summand auf Lineal A ist hier die 3. Den 2. Summanden suchen wir auf Lineal B (z.B. 5). Dann ist 3+5=8
Können wir mit den Linealen auch multiplizieren?
Nicht direkt, dafür müssen wir die Skalen anpassen. Eine solche Skala bietet der Rechenschieber. Die Skalen des Rechenschiebers sind logarithmisch eingeteilt. Wir nutzen das erste Logarithmen Gesetz.
{\large 1.\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}} \right)\,=\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}} \right)\,+\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{2}} \right) }
Wir schieben das Multiplikationsneutral „1“ von Skala C über den ersten Faktor auf der Skala D. Unter dem 2. Faktor auf der Skala C können wir das Produkt ablesen.
Im Beispiel hier ist der erste Faktor 1,4. Unter dem 2. Faktor (z.B. 2) können wir das Produkt ablesen.
1,4·2=2,8 oder 1,4·3=4,2 oder 1,4·5=7,0 oder …
Die Logarithmen zur Basis 10 von 1,4; 14; 140; 0,00014; … unterscheiden sich nur im Numerus. Die Mantissen sind gleich.
log10 1,4 = 0,1461; log10 14 = 1,1461; log10 140 = 2,1461
Daher liefert der Rechenschieber nur die Ziffernfolge des Produkts. Die Größenordnung muss mittels Überschlag bestimmt werden.
Wie können wir mit dem Rechenschieber multiplizieren, wenn der 2. Faktor von Skala C außerhalb der Skala D liegt?
Die Zehnerlogarithmen von 1 und 10 haben die gleiche Mantisse. Daher erfüllt auch die 10 hier die Anforderungen an ein Multiplikationsneutral. In diesem Fall wird die „10“ der Skala C über den ersten Faktor der Skala D geschoben.
Beispiel:
{\large \begin{array}{l}60\,\cdot \,500\,=\,…..\\\\{{\log }_{10}}\,60\,=\,1,7781;\,\,\,\,{{\log }_{10}}\,500\,=\,2,69897\\nach\,\,dem\,\,1.\,\,Logarithmen\,Gesetz\,\,gilt:\\{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}} \right)\,=\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}} \right)\,+\,{{\log }_{a}}\left( {{b}_{2}} \right)\\einsetzen:\\{{\log }_{a}}\left( 60\cdot 500 \right)\,=\,{{\log }_{a}}60\,+\,{{\log }_{a}}\left( 500 \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,1,7781+2,69897\,=\,4,47707\end{array} }
Der Numerus 4 zeigt an, dass unser Ergebnis die Zehnerpotenz 104 hat. Der ist aber auf dem Rechenschieber nicht verfügbar. Beschränken wir uns auf die Mantisse 0,47707
100,47707 = 2,99965 also quasi 3. Das stimmt mit der Anzeige auf dem Rechenschieber überein. Da die Skala logarithmisch ist, ist es nicht erforderlich, Potenz von 10 zu berechnen.
Der Überschlag ergibt 30.000. Somit haben wir das Produkt berechnet.
Beispiel 13,5 · 28
Der Rechenschieber liefert die Ziffernfolge 378.
Der Überschlag 10*30=300 liefert die Größenordnung.
Das Produkt ist 378.
Mit dem Rechenschieber sind nur Genauigkeiten von 3 signifikanten Stellen zu erreichen. Das ist i.d.R. aber auch völlig ausreichend.