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Halbwertzeit

Halbwertzeit, Halbwertszeit, T ½, Experiment, Isotop, Zerfall

Jedes chemische Element hat verschiedene Isotope. Einige dieser Isotope sind stabil (schwarz), andere der Isotope sind farbig dargestellt. Im Folgenden soll es um die nicht stabilen Isotope gehen.

Die Isotope eines chemischen Elements unterscheiden sich durch die Anzahl der Neutronen. Je nach Anzahl der Neutronen sind die Kerne mehr oder weniger stabil, d.h. sie können mehr oder weniger leicht zerfallen. 

Nuklidkarte-ganz
Übersicht - ganze Nuklidkarte
Nuklidkarte-001-023
Auszug aus der Nuklidkarte

Stabilität und Wahrscheinlichkeit

Modellvorstellung

Den Zeitpunkt des Zerfalls eines Atomkerns können wir nicht vorhersagen. Der Zerfall erfolgt stochastisch. Wir können nur Aussagen zur Wahrscheinlichkeit des Zerfalls machen.

Zur besseren Vorstellung können wir das mit einem Würfel vergleichen. Dazu wählen wir einen fairen Würfel (1 bis 6).

Jede der Zahlen 1 bis 6 wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 1/6 gewürfelt. Wir nehmen an, dass die 6 einem Zerfall entspricht. Die 6 kann nach dem ersten Wurf fallen, es kann aber auch sein, dass wir nach 10 oder 20 Würfen noch keine 6 gewürfelt haben. Je größer die Anzahl der geworfenen Würfel, desto mehr gleichen sich die Ergebnisse der Augenzahlen an. In der EXCEL-Datei kannst du das Würfeln von 1 bis 6000 Würfen simulieren.

Die folgenden Abbildungen zeigen verschiedene Szenarien beim Würfeln (6-Würfe, 120-Würfe, 600-Würfe, 6000-Würfe).

6 Würfe
6 Würfe
6 Würfe
120 Würfe
600 Würfe
6000 Würfe

Je größer die Anzahl der Würfe, desto mehr nähern sich die Verteilungen der Ergebnisse 1 bis 6 der Wahrscheinlichkeit von 1/6 an.

Ist ein Kern weniger stabil, dann können wir den Augenzahlen 5 und 6 den Zerfall zuschreiben. Je instabiler ein Kern, desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass er zerfällt. Das lässt sich für weitere Augenzahlen fortsetzen.

• Modellexperiment – Würfel

Halbwertzeit

Je instabiler ein Kern ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in der nächsten Zeit zerfällt. Diese Instabilität können wir physikalisch mit der Halbwertzeit T1/2  ausdrücken.

 

Die Halbwertzeit T1/2 ist die Zeit, in der die Hälfte der Atome des betrachteten Isotops zerfallen.

  • Nach einer Halbwertzeit sind 50% der Atome vorhanden.
  • Nach zwei Halbwertzeiten sind 25% der Atome vorhanden.
  • Nach drei Halbwertzeiten sind 12,5% der Atome vorhanden.
  • Nach vier Halbwertzeiten sind 6,25% der Atome vorhanden.
  • …

Der Nuklidkarte können wir sowohl die Halbwertzeit T1/2, als auch die Art des Zerfalls entnehmen.

Die Halbwertzeit finden wir unter dem Elementesymbol. Die Halbwertzeit verschiedener Isotope reichen von wenigen Mikrosekunden bis hin zu Milliarden von Jahren. Die folgenden Bilder zeigen verschiedene Isotope mit verschiedenen Halbwertzeiten.

Po-212: 0,3 µs
Pb-209: 3,25 Stunden
Ra-224: 3,64 Tage
Th-232: 14-Mrd. Jahre

Die Halbwertzeit ist ein statistischer Wert. Sie kann keine Aussage zum Zeitpunkt des Zerfalls eines bestimmten Atoms geben. Die Halbwertzeit bezieht sich stets auf eine sehr große Anzahl von Atomen. (vgl. Würfel) Von diesen Atomen wird in der nächsten Halbwertzeit die Hälfte der Atome zerfallen.

Den Zerfall eines instabilen Isotops können wir mit einer Exponentialfunktion beschreiben.

{\huge  N\left( t \right)={{N}_{0}}\,\cdot \,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}}}

  • N(t) – Zählrate zum Zeitpunkt t
  • N0 – Zählrate zum Zeitpunkt Null
  • t – abgelaufene Zeit
  • T1/2 – Halbwertzeit

Am Exponenten ist zu erkennen, wenn t=0 ist, dann ist der Exponent 0. Den Potenzgesetzen können wir entnehmen: {\large{{a}^{0}}=1\,\,\,\,\left( a\,\in \,{{\mathbb{R}}^{*}} \right) }

{\large \begin{array}{l}N\left( t \right)={{N}_{0}}\,\cdot \,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}}\\N\left( t \right)={{N}_{0}}\,\cdot \,{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{0}}\,=\,N\left( t \right)={{N}_{0}}\,\cdot \,1\end{array}  }

 

  • Für t=T1/2 ist der Exponent 1. N0 wird also mit ½ multipliziert.
  • Für t=2·T1/2 ist der Exponent 2. N0 wird also mit 1/4
  • Für t=3·T1/2 ist der Exponent 3. N0 wird also mit 1/8 u.s.w.

 

Halbwertzeit aus Regression

Wenn wir zu den aufgenommenen Messwerten eine Regression ausführen, dann erhalten wir eine Gleichung mit der Basis e statt ½. Die Abbildungen zeigen zwei Regressionen mit EXCEL und Taschenrechner. Mit Hilfe der Logarithmengesetze können wir diese Gleichungen ineinander umformen.

{\large  N\left( t \right)={{N}_{0}}\,\cdot \,{{e}^{-\lambda \cdot {{T}_{1/2}}}}}

Nach dem Erreichen der ersten Halbwertzeit gilt: {\large N\left( t \right)=\frac{{{N}_{0}}}{2}}

… Einsetzen in die Ausgangsgleichung

{\large  0,5={{e}^{-\lambda \cdot {{T}_{1/2}}}} }

… Logaritmus ln(x) auf beiden Seiten der Gleichung

{\large \begin{array}{l}\ln \left( 0,5 \right)=\ln \left( {{e}^{-\lambda \cdot {{T}_{1/2}}}} \right)\\\\\ln \left( 0,5 \right)=-\lambda \cdot {{T}_{1/2}}\,\cdot \overbrace{\ln \left( e \right)}^{=1}\\\ln (0,5)=-\lambda \cdot {{T}_{1/2}}\\\\{{T}_{1/2}}\,=\,\frac{\ln (0,5)}{-\lambda }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| Logarithmengesetz \right.\\\\{{T}_{1/2}}\,=\,\frac{\ln (2)}{\lambda }\end{array}  }

Beispiel

Die Aktivität eines Am-241 Präparates betrug beim Kauf im Jahr 1990 ca. 74 kBq. Am-241 hat eine Halbwertzeit von 433 Jahren. Bestimme die Aktivität des Präparates im Jahr 2021.

Es sind seit der Auslieferung des Präparates 31 Jahre vergangen. Die Aktivität zum Zeitpunkt Null betrug 74 kBq.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}N\left( t \right)={{N}_{0}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{t}{{{T}_{1/2}}}}}\\\\N\left( 31\,a \right)=74\,kBq\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{31\,a}{433\,a}}}\\\\N\left( 31\,a \right)=\,70,4\,kBq\end{array}  }

Nach 31 Jahren ist die Aktivität des Präparates auf 70,4 kBq gefallen.

Am-241 ist ein α-Strahler. Es zerfällt unter Aussendung eines α-Teilchens in Np-237.

{\large {}_{95}^{241}Am\,\xrightarrow{\alpha }\,{}_{93}^{237}Np\,+\,{}_{2}^{4}He}

Np-237 hat eine Halbwertzeit von 2,14·106 Jahre. Die Halbwertzeit des Tochternuklids ist um mehrere Zehnerpotenzen größer. Daher werden die Zerfälle des Tochterkerns die Messungen nicht signifikant beeinflussen. 

Auszug Nuklidkarte

Zu den Experimenten zur Bestimmung der Halbwertzeit: