Gedämpfte Schwingungen
gedämpfte Schwingung, Schwingungen, Dämpfung, Reibung, Abnahme der Schwingung, Amplitude
Mit dem Mathematischen Pendel und dem idealen Federpendel haben wir idealisierte Schwingungsvorgänge betrachtet. In der Realität laufen diese Schwingungen gedämpft ab. Das bedeutet, ihre Amplitude wird kleiner.
Im folgenden werden wir einige Experimente aufnehmen und die Schwingungen und die Dämpfungen untersuchen. Dabei werden wir die folgenden Fragen klären:
Experimente zur gedämpften Schwingung
- Experimente am Fadenpendel
- Schattenprojektion
- Aufnahme mit der Digitalkamera
- Experimente am Federpendel
- Schattenprojektion
- Aufnahme mit der Digitalkamera
- Aufnahme mit dem x-t-Schreiber
- Untersuchungen an der Stimmgabel – Auswertung mit audacity
1. Experimente mit dem Fadenpendel - Amplituden der gedämpften Schwingung
1.1 Schattenprojektion
Wir lenken ein Fadenpendel der Länge 1,5 m um { {{{\hat{s}}}_{0}}\,=\,20\,cm } aus. Das entspricht einem Winkel φ≈8°.
Nach jeweils 5 Schwingungen markieren wir die Amplituden. { {{\hat{s}}_{5}}\,;\,{{\hat{s}}_{10}}\,;\,{{\hat{s}}_{15}}\,;\,… } ♦01
Die markierten Auslenkungen übertragen wir Ende des Experiments in die Tabellenkalkulation. ♦02
Bild ♦03 zeigt die exponentielle Regression.
Wir „übersetzen“ die Gleichung der Regression in die Physik.
{ \large \hat{s}\left( t \right)=0,22\,m\cdot {{e}^{-\frac{0,033\cdot t}{1\,s}}} }
Die exponentielle Regression ist physikalisch sinnvoll. Das Bestimmtheitsmaß von 0,98 zeigt eine hohe Übereinstimmung der Messwerte mit dem gefundenen funktionalen Zusammenhang.
1.2 Messung mit der Digitalkamera
Ein Fadenpendel wird an der Decke befestigt und ausgelenkt. Die Schwingung wird mit einer Digitalkamera (hier iPad) aufgenommen und mit der App VIANA ausgewertet.
Das weitere Vorgehen und die Ergebnisse entsprechen denen Versuch 1.1
(Hinweis: Es empfiehlt sich, bei der Video-Aufnahme und Auswertung die Schwingung gut auszuleuchten und einen kontrastreichen Pendelkörper zu nutzen.)
2. Experimente mit dem Federpendel - Amplituden der gedämpften Schwingung
2.1 Schattenprojektion am Federpendel
Wir lenken das Federpendel aus seiner Ruhelage aus und lassen es schwingen. Nach jeder zweiten Schwingung markieren wir die Amplitude. ♦04
Die Amplituden werden gemessen, in die Tabellenkalkulation übertragen und ausgewertet.
(Hinweis: Theoretisch könnte auch jede Amplitude markiert werden, aber praktisch ist die Frequenz zu hoch.)
2.2 Aufnahme mit der Digitalkamera
Wir befestigen das Federpendel an einem Stativ. Dann lenken wir das Pendel aus und lassen es schwingen. Die Schwingung wird mit einer Digitalkamera (hier iPad) aufgenommen und mit der App VIANA ausgewertet.
Das weitere Vorgehen und die Ergebnisse entsprechen denen in Versuch 2.1
2.3 Aufnahme mit dem y-t-Schreiber
Ein Magnet schwingt in einer Spule. Durch die Bewegung des Magneten wird in der Spule eine Spannung induziert. Die induzierte Spannung wird an einem y-t-Schreiber abgelesen.
Auf dem Bild des y-t-Schreibers können wir die Schwingungsdauer und die Dämpfung der Schwingung ablesen.
3. Untersuchungen an der Stimmgabel - Amplituden der gedämpften Schwingung
Die Stimmgabel wird einmal angeschlagen. Der Ton der Stimmgabel wird über ein Mikrofon aufgenommen und in ein geeignetes Programm (z.B. audacity) eingelesen.
Die Software zeigt über mehr als 2 s einen klaren abnehmenden Ton. Da bei einer Frequenz von 440 Hz pro Sekunde 440 Schwingungen zu beobachten sind, wird nur alle 100 ms die jeweilige Amplitude abgelesen.
Etwas Theorie und Mathematik zur gedämpften Schwingung
Die Energie eines schwingenden Systems wird durch hemmende Kräfte, wie innere- und äußere Reibung, Luftwiderstand u.a. allmählich aufgezehrt.
Da {\displaystyle E\,\sim{\ }\,{{\hat{y}}^{2}}\,}, nimmt auch { \displaystyle \hat{y}} bis zu Null ab.
Jede freie Schwingung ist gedämpft!
Für schwache Dämpfungen stimmt die Periodendauer der gedämpften Schwingung mit der ungedämpften Schwingung überein. Bei starken Dämpfungen nimmt die Schwingungsdauer zu.
Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung
{\huge \displaystyle y\,=\,{{\hat{y}}_{0}}\cdot {{e}^{-\delta t}}\,\cdot \sin (\omega t+{{\varphi }_{0}})}
beschrieben.
Da die Amplituden betrachtet werden, gilt:
{ \large \displaystyle \begin{array}{l}{{{\hat{y}}}_{n}}\,=\,{{{\hat{y}}}_{0}}\,\cdot \,{{e}^{-\delta t}}\\\delta \,=\,-\frac{\ln \,\tfrac{{{{\hat{y}}}_{n}}}{{{{\hat{y}}}_{0}}}}{n}\end{array} }
Der Abklingkoeffizient δ ist von der Masse m und der Dämpfungskonstante ß abhängig. δ = f(m; ß)
{\displaystyle \left. \begin{array}{l}\delta \sim \frac{1}{m}\\\delta \sim \beta \end{array} \right\}\,\,\,\delta \,=\,\frac{}{2\,m} }
Die Dämpfung bewirkt eine vom Abklingkoeffizienten δ abhängige Änderung der Frequenz, Kreisfrequenz und Schwingungsdauer.
{\large \displaystyle {{\omega }_{d}}\,=\,\sqrt{\omega _{0}^{2}\,-\,{{\delta }^{2}}} }
{\large \displaystyle {{T}_{d}}\,\,=\,\,\frac{2\pi }{\sqrt{\omega _{0}^{2}\,-\,{{\delta }^{2}}}}\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\frac{{{T}_{0}}}{\sqrt{1\,-\,\frac{{{\delta }^{2}}}{\omega _{0}^{2}}}}}
Wenn der Abklingkoeffizient δ größer wird als ω, dann wird der Term unter der Wurzel negativ. Es gibt dann keine rationale Lösung mehr. In der folgenden GeoGebra Animation kannst du das ausprobieren. (Aktiviere dazu das Kontrollkästchen „korrigierte Schwingungsdauer“.)
Die Fälle δ>ω und δ=ω sind physikalische betrachtet keine Schwingungen mehr, da es keine Periode mehr gibt. Technisch sind diese Fälle aber interessant. Sie sind z.B. bei der Dämpfung von Messgeräteanzeigen von Bedeutung. Hier ist es gewollt, dass der Zeiger schnell den gewünschten Messwert anzeigt und sich nicht erst langsam auf einen Endwert einschwingt.