Das Feder-Masse-Pendel
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Vorbetrachtungen zum Federpendel
Das Federpendel, auch Feder-Masse-Pendel, besteht im Wesentlichen aus einer Feder und einer Masse. Wird die Masse aus der Ruhelage ausgelenkt und losgelassen, dann beginnt das Pendel zu schwingen.
Reibungseinflüsse werden hier zunächst vernachlässigt.
Wenn wir Reibungseinflüsse vernachlässigen, dann führt das Pendel eine harmonische Schwingung aus. Diese kann mit einer Sinus-Funktion beschrieben werden.
Welche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer am Federpendel?
Hypothesen
Folgende Hypothesen wurden zur Abhängigkeit der Schwingungsdauer T formuliert:
- Federkonstante
- Masse
- Auslenkung Δs
Wir beginnen die Hypothesen zu überprüfen und führen dazu verschiedene Experimente durch.
Experimentelle Überprüfung der Hypothesen
1. Abhängigkeit von der Federkonstante D
Eine konstante Masse von 50 g wird an verschiedene Schraubenfedern gehängt. Die Schraubenfedern haben dabei verschiedene Federkonstanten D. Da die Schwingungsdauern sehr kurz sind, werden zur Reduzierung des Fehlers der Zeitmessung jeweils 5, 10 bzw. 20 Schwingungen gemessen.
Übertrage die Werte in ein D-T-Diagramm und ermittle einen möglichen Zusammenhang.
Die gewählte Potenzregression ist physikalisch sinnvoll. Auch das Bestimmtheitsmaß R2>0,99 zeigt eine sehr gute Korrelation. Der Exponent -0,497 lässt einen Zusammenhang {\large\frac{1}{\sqrt{D}} } vermuten.
Aus den Messwerten können wir schlussfolgern:
{\huge T\sim \frac{1}{\sqrt{D}} }
2. Abhängigkeit von der Masse m
Verschiedene Massen werden an eine Schraubenfeder (D = 2,5 N/m) gehängt und die Schwingungsdauer wird in Abhängigkeit von der Masse bestimmt.
Übertrage die Werte in ein m-T-Diagramm und ermittle einen möglichen Zusammenhang.
Verbinde die gewonnenen Zusammenhänge und ermittle daraus den Proportionalitätsfaktor.
Die gewählte Potenzregression ist physikalisch sinnvoll. Auch das Bestimmtheitsmaß R2>0,99 zeigt eine sehr gute Korrelation. Der Exponent 0,4975 lässt einen Zusammenhang {\large \sqrt{m}} vermuten.
Aus den Messwerten können wir schlussfolgern:
{\huge T\sim \sqrt{m}}
{\large \left. \begin{array}{l}T\,\tilde{\ }\,\frac{1}{\sqrt{D}}\\\\T\,\tilde{\ }\,\sqrt{m}\end{array} \right\}\,T\,\tilde{\ }\,\sqrt{\frac{m}{D}}}
Einheitenbetrachtung: Der Proportionalitätsfaktor k ist also einheitenlos.
Berechnung von k:
{\large \begin{array}{l}\left[ T\,=\,k\,\centerdot \,\sqrt{\frac{m}{D}} \right]\,\,=\,1\,s\,=\,\left[ k \right]\,\cdot \,\sqrt{\frac{kg}{\frac{N}{m}}}\,=\,\left[ k \right]\,\cdot \,\sqrt{\frac{kg\,\cdot \,\,m\,\cdot \,{{s}^{2}}}{kg\,\cdot \,m}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,s\,=\,\left[ k \right]\,\cdot \,1\,s\end{array}}
Der Proportionalitätsfaktor k liegt mit Werten zwischen 6,07 und 6,5 nahe an 2π.
- Mittelwert: 6,27
- Median: 6,29
3. Abhängigkeit von der Auslenkung
- Für verschiedene Massen konnten bei gleicher Federkonstante keine Abweichungen von der Schwingungsdauer beobachtet werden.
- Für verschiedene Federkonstanten konnten bei gleicher Masse keine Abweichungen von der Schwingungsdauer beobachtet werden.
Zusammenfassung der Auswertungen
{\large \begin{array}{l}k\,=\,T\,\cdot \,\sqrt{\frac{D}{m}}\\k\,=\,2\,\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \huge \Rightarrow \,{{T}_{Federpendel}}\,=\,2\pi \,\cdot \,\sqrt{\frac{m}{D}}\end{array}}
Mathematische Herleitung der Schwingungsgleichung
Zur Herleitung werden wir die folgenden Idealisierungen vornehmen:
- Grenzen des HOOKschen Gesetzes
- Bewegung verläuft reibungsfrei
- Feder wird als masselos angesehen
In den Grenzen des HOOKschen Gesetzes ist die Längenänderung einer Feder Δs proportional zur wirkenden Kraft F.
Es gilt also: FFeder ~ Δs
Der Proportionalitätsfaktor ist die Federkonstante D.
FFeder = D · Δs
Diese Federkraft entspricht der Rückstellkraft Fr.
FFeder = Fr
Die Rückstellkraft ist entgegen der Auslenkung der Feder gerichtet. Daher ergänzen wir in der Gleichung ein Minuszeichen.
Rückstellkraft Fr = -D·s
Ausgehend vom NEWTONschen Grundgesetz wissen wir, dass die Beschleunigung a, die ein Körper der Masse m erfährt, proportional zur Kraft F ist.
F ~ a
Der Proportionalitätsfaktor ist die Masse m.
F=m·a
Da sich die Beschleunigung, die die Masse am Pendel erfährt, in jedem Moment ändert, ist sie von der Zeit abhängig. Wir betrachten also a(t) (Schreibweise dt und Punkt über der Größe)
- Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. {\displaystyle v(t)=\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)\\ }
- Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. {\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\dot{v}(t)}\\\\\\\\\\
- Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. { a(t)=\frac{{{d}^{2}}s}{d{{t}^{2}}}=\ddot{s}(t)\\ }
Wir können also schreiben: {\large F=m\cdot \ddot{s}(t) }
Da beschleunigende Kraft und Rückstellkraft gleich sind, gilt:
{\large \begin{array}{l}F={{F}_{r}}\\\\m\cdot \ddot{s}(t)=-D\cdot s(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{Bewegungsgleichung}\end{array}}
Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung. Eine Differentialgleichung hat die Eigenschaft, dass neben einer Größe, auch die Ableitung dieser Größe in der Gleichung vorkommt. Hier sind das die Größen Weg s(t) und Beschleunigung a(t). Der zweiten Ordnung können wir entnehmen, dass es sich um die zweite Ableitung handelt.
Einsetzen in die Bewegungsgleichung
{\huge m\cdot \ddot{s}(t)=-D\cdot s(t) }
Da die Bewegung des Pendels bei der maximalen Auslenkung beginnt ♦08, ist die maximale Auslenkung zum Zeitpunkt t=0 gleich der Amplitude.
{\large s(t=0)=\hat{s}}
Diese Bedingung können wir durch eine Addition einer Phasenverschiebung realisieren, oder wir nutzen die Kosinus-Funktion.
{\large \displaystyle \begin{array}{l}s(t)=\hat{s}\cdot \cos (\omega t)\\v(t)=\dot{s}(t)=\hat{s}\cdot \left( -\sin (\omega t) \right)\cdot \omega =-\hat{s}\cdot \omega \cdot \sin (\omega t)\\a(t)=\ddot{s}(t)=-\hat{s}\cdot \omega \cdot \cos (\omega t)\cdot \omega =-\hat{s}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot \cos (\omega t)\end{array} }
Jetzt setzen wir für s(t) und a(t) in die Bewegungsgleichung ein.
{\large \displaystyle \begin{array}{l}m\cdot \ddot{s}(t)=-D\cdot s(t)\\\\m\cdot \underbrace{\left( -\hat{s}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot \cos (\omega t) \right)}_{\ddot{s}(t)}=-D\cdot \underbrace{\left( \hat{s}\cdot \cos (\omega t) \right)}_{s(t)}\\\\-m\cdot \hat{s}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot \cos (\omega t)\,\,\,\,\,=\,\,-D\cdot \hat{s}\cdot \cos (\omega t)\\m\cdot \hat{s}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot \cos (\omega t)\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,D\cdot \hat{s}\cdot \cos (\omega t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| -D\cdot \hat{s}\cdot \cos (\omega t) \right.\\m\cdot \hat{s}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot \cos (\omega t)-D\cdot \hat{s}\cdot \cos (\omega t)=0\\\\\text{Ausklammern:}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\hat{s}\cdot \cos (\omega t)\cdot \left[ m\cdot {{\omega }^{2}}-D \right]\,\,\,=0\end{array} }
Der wichtigste Satz der Mathematik lautet: „Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.“
Wir können hier bei der Herleitung genauso vorgehen, wie schon beim mathematischen Pendel.
{\large \displaystyle \underbrace{\hat{s}\cdot \cos (\omega t)}_{1.Faktor}\cdot \underbrace{\left[ m\cdot {{\omega }^{2}}-D \right]}_{2.Faktor}\,\,\,=0 }
Der erste Faktor enthält eine Kosinus-Funktion, wird also periodisch Null. Daher schauen wir uns den zweiten Faktor genauer an.
{\large \displaystyle \begin{array}{l}m\cdot {{\omega }^{2}}-D\,\,\,=0\\m\cdot {{\omega }^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=D\\\,\,\,\,\,\,\,{{\omega }^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{D}{m}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\omega \,\,\,\,\,\,\,=\,\,\sqrt{\frac{D}{m}}\end{array} }
Damit kennen wir die Winkelgeschwindigkeit und können die Bewegungsgleichungen darstellen. Wenn wir ω durch 2πf ersetzen, dann erhalten wir:
{\large\displaystyle \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\omega =\sqrt{\frac{D}{m}}\\\\\omega =2\pi f\end{array} \right\}2\pi f=\sqrt{\frac{D}{m}}\\\\\left. \begin{array}{l}f=\frac{1}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{D}{m}}\\\\T=\frac{1}{f}\end{array} \right\}T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}\end{array} }
Am idealen Federpendel ist die Schwingungsdauer T von der Federkonstante D und der schwingenden Masse m abhängig.
{\huge {{T}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}} }