Winkelfunktionen
Schlagwörter: Winkelfunktionen, Dreieck, rechtwinklig, Sinus sin Kosinus cos Tangens tan Arcus
Der Begriff Trigonometrie kommt aus dem Griechischen (trigon) und bedeutet Dreieck. Im Kern geht es darum, in einem Dreieck fehlende Seitenlängen und Winkel zu bestimmen. Dabei gehen wir zunächst von rechtwinkligen Dreiecken aus. Diese Seite liefert nur einen kurzen Überblick. Die ausführliche Darstellung gibt es auf der Jahrgangsseite Mathematik 9/10.
1. rechtwinklige Dreiecke
a) Tangens-Funktion
GK – Gegenkathete, ist die dem betrachteten Winkel gegenüberliegende Kathete
AK – Ankathete, ist die am betrachteten Winkel anliegende Kathete
Egal, wie groß das Dreieck gewählt wird, wenn α konstant bleibt, dann ändert sich das Verhältnis {\large \frac{GK}{AK} } nicht.
Dieses Verhältnis entspricht dem Steigungsdreieck.
Da heißt, dass der Winkel α auch über das Verhältnis {\large \frac{GK}{AK} } beschrieben werden kann.
Die TANGENS-Funktion*, tan(α), ordnet dem Winkel dieses Verhältnis zu.
{\huge \tan \,(\alpha )\,=\,\frac{GK}{AK} }
Die folgende GeoGebra Animation zeigt die Entstehung der Tangens-Funktion. Wenn die Ankathete dabei auf 1 L.E. normiert wird, dann entspricht die Länge der Gegenkathete dem Tangens des Winkels.
*Hinweis: Die Tangens-Funktion hat Definitionslücken bei {\large \displaystyle -\frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2};\,\frac{3}{2}\pi ;\,\frac{5}{2}\pi ;\,……\,\,{{D}_{f}}\left[ \tan \left( x \right) \right]\,=\,\left\{ x\,\in \,\mathbb{R}\,\backslash \,x=\left( n+\frac{1}{2} \right)\cdot \pi \,,\,f\ddot{u}r\,n\in \,\mathbb{Z} \right\} }
Für einen Winkel von 90° kann kein Dreieck mehr entstehen bzw. die Ankathete (der Nenner im Bruch) ist Null. Damit ist der Quotient nicht mehr zu berechnen. Der tan(90°) ist nicht definiert. An dieser Stelle existiert eine senkrechte Asymptote. Die Tangens-Funktion lässt sich auch außerhalb des betrachteten Intervalls von {\large 0{}^\circ \le \alpha <90{}^\circ } fortsetzen.
Wenn wir die Steigung gegeben haben und den Winkel berechnen wollen, dann benötigen wir die Umkehrfunktion der Tangensfunktion.
Die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion ist der Arkustangens arctan(). Der Arkustangens ordnet dem Verhältnis {\large \frac{GK}{AK} } einen Winkel zu.
{\large \begin{array}{l}\arctan \left( \frac{0,5}{1} \right)\,=\,26,6{}^\circ \\\\\arctan \left( \frac{1}{1} \right)\,=\,45{}^\circ \end{array} }
b) Sinus-Funktion
Das Verhältnis { \frac{GK}{HY}} definiert den Winkel α eindeutig. (vgl. Kongruenzsätze)
Die Zuordnung, die dem Winkel α das Verhältnis von { \frac{GK}{HY}} zuordnet, nennen wir Sinus-Funktion.
{\huge \sin \,(\alpha )\,=\,\frac{GK}{HY} }
Wenn wir das Verhältnis { \frac{GK}{HY}} gegeben haben und den Winkel berechnen wollen, dann benötigen wir die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion.
Die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion ist der Arkussinus arcsin(). Der Arkussinus ordnet dem Verhältnis {\large \frac{GK}{HY} } einen Winkel zu.
Da die Sinus-Funktion eine nicht umkehrbar eindeutige Zuordnung darstellt (vgl. Zuordnungen), kann die Umkehrung nicht über den gesamten Definitionsbereich erfolgen.
Beispiel:
Den Werten …, -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, … ist jeweils der Funktionswert Null zugeordnet. Damit hat auch die Umkehrfunktion mehrere Lösungen.
b) Kosinus-Funktion
Das Verhältnis { \frac{AK}{HY}} definiert den Winkel α eindeutig. (vgl. Kongruenzsätze)
Die Zuordnung, die dem Winkel α das Verhältnis von { \frac{AK}{HY}} zuordnet, nennen wir Kosinus-Funktion.
{\huge \cos \,(\alpha )\,=\,\frac{AK}{HY} }
Wenn wir das Verhältnis { \frac{AK}{HY}} gegeben haben und den Winkel berechnen wollen, dann benötigen wir die Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion.
Die Umkehrfunktion der Kosinus-Funktion ist der Arkuskosinus arccos(). Der Arkuskosinus ordnet dem Verhältnis {\large \frac{AK}{HY} } einen Winkel zu.
Die Kosinus-Funktion ist eine nicht umkehrbar eindeutige Zuordnung (vgl. Zuordnungen). Daher kann die Umkehrung nicht über den gesamten Definitionsbereich erfolgen.
Beispiel:
Den Werten …, -270°, -90°, 90°, 270°, 450°, … ist jeweils der Funktionswert Null zugeordnet. Damit hat auch die Umkehrfunktion mehrere Lösungen.
Übersicht - alle Winkelfunktionen
Die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion lassen sich außerhalb des oben betrachteten Bereiches fortsetzen.
Hinweis: In der folgenden GeoGebra Animation können alle Winkelfunktionen parallel dargestellt werden. Für eine bessere Übersichtlichkeit sollte nur jeweils das Kontrollkästchen einer Winkelfunktion aktiviert werden.
2. Winkelfunktionen in nichtrechtwinkligen Dreiecken
Dreiecke allgemein
Der Sinus-Satz und der Kosinus-Satz stellt jeweils die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln in einem beliebigen Dreieck her.
Sinus-Satz
{\huge \frac{a}{\sin \left( \alpha \right)}=\frac{b}{\sin \left( \beta \right)}=\frac{c}{\sin \left( \gamma \right)}}
Kosinus-Satz
{\large \begin{array}{l}{{c}^{2}}\,=\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cdot \cos \left( \gamma \right)\\\\{{a}^{2}}\,=\,{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos \left( \alpha \right)\\\\{{b}^{2}}\,=\,{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos \left( \beta \right)\end{array}}
3. Zusammenfassung
rechtwinklige Dreiecke
{\huge \begin{array}{l}\sin \left( \alpha \right)\,=\,\frac{GK}{HY}\\\\\cos \left( \alpha \right)\,=\,\frac{AK}{HY}\\\\\tan \left( \alpha \right)\,=\,\frac{GK}{AK}\end{array}}