Funktionen

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Element des Definitionsbereichs DB, genau ein Element des Wertebereichs WB zugeordnet wird.

Was bedeutet „eindeutige Zuordnung“?

Jedem Element des Definitionsbereichs (x) ist genau ein Element des Wertebereichs (y) zugeordnet. Umgekehrt muss das nicht gelten. So können einem y-Wert auch mehrere x-Werte zugeordnet sein.

a) Zuordnung eindeutig, ist eine Funktion
b) Zuordnung eindeutig, ist eine Funktion
c) Zuordnung eindeutig, ist eine Funktion
d) Zuordnung NICHT eindeutig, ist KEINE Funktion

Was bedeutet ein-eindeutige Zuordnung?

Die Beschreibungen „eineindeutige Zuordnung“, bzw. „umkehrbar eindeutig Zuordnung“ können synonym verwendet werden.

Eine Zuordnung ist eineindeutig, wenn auch die Umkehrung der Zuordnung eindeutig ist. In den obigen Abbildungen zeigt nur Bild (a) eine eineindeutige Zuordnung. (vgl. die rote Linie, wenn die rote Linie den Graph mehrfach schneidet, dann ist die Zuordnung nicht umkehrbar eindeutig.

  • Abbildung (a): Es wird jedem Element des Definitionsbereiches DB höchstens ein Element des Wertebereiches WB zugeordnet.  → FUNKTION ; Es wird aber auch jedem Element des Wertebereiches WB höchstens ein Element des   Definitionsbereiches zugeordnet. → eineindeutige Zuordnung bzw. umkehrbar eindeutig
  • Abbildung (b): Es wird jedem Element des Definitionsbereiches DB höchstens ein Element des Wertebereiches WB zugeordnet.  → FUNKTION ; Es gibt Element des Wertebereiches WB denen meherer Elemente des Definitionsbereiches zugeordnet sind. → NICHT umkehrbar eindeutig

Definitionsbereich DB

Der Definitionsbereich DB ist der Bereich, aus dem die x-Werte stammen.

Bei vielen Funktionen wird das der Bereich der reellen Zahlen sein. Es gibt aber auch Funktionen (z.B. Wurzelfunktionen, gebrochene Funktionen), bei denen der Definitionsbereich eingeschränkt ist. Wenn eine Aufgabe einen praktischen Kontext hat (z.B. Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge). Theoretisch könnten wir auch Flächen von negativen Seitenlängen berechnen, im Kontext ist das aber wenig sinnvoll.

Wertebereich WB

Der WB ist der Bereich, aus den die y-Werte annehmen können.

Bei einer linearen Funktion ist der WB der Bereich der reellen Zahlen. Wenn wir aber z.B. die Funktion f(x) = x2 betrachten, dann erkennen wir, dass der WB sich auf die nichtnegativen Zahlen beschränkt.

zur Darstellung:

Funktionen können auf verschiedene Weise dargestellt werden:

  1. Formulierung in Worten
  2. Funktionsgleichung
  3. Wertetabelle
  4. graphische Darstellung

Beispiele für Zuordnungen:

  1. Euro / US$

Am 20.08.20 war der Wechselkurs zwischen Euro (€) und US$ 1 zu 1,18. Das bedeutet, dass man für 1 €, 1,18 $ bekam.

Diese Zuordnungsvorschrift lässt sich auch in einer Funktionsgleichung, oder einem Diagramm darstellen.

  1. Oberflächeninhalt AO eines Würfels mit der Kantenlänge a

Den Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen wir mit der Formel AO =6 · a2

Daraus ergibt sich die Funktion:

{\displaystyle {{A}_{O}}=\text{ }f\left( a \right)\text{ }=\text{ }6\text{ }\cdot \text{ }{{a}^{2}}}

Es ist nur sinnvoll, mit nichtnegativen Kantenlängen zu arbeiten, also gilt für den Definitionsbereich:

{DB:\,\,a\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge \,a\,\ge \,0}

Auch die Oberflächeninhalte können keine negativen Werte annehmen:

{WB:\,\,{{A}_{O}}\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge \,{{A}_{O}}\,\ge \,0}

Übersicht Funktionen

Je nach Zuordnungsvorschrift unterscheiden wir verschiedene Arten von Funktionen.

  1. lineare Funktionen

allgemeine Form: {f(x)=m\cdot x+b}

Der Graph ist eine Gerade.

Funktion des roten Graphen: {g(x)=\frac{1}{2}x+2}

Funktion des grünen Graphen: { f(x)=2x-1}

…weitere zu linearen Funktionen

2. quadratische Funktionen

allgemeine Form: {f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c}

Der Graph ist eine Parabel. Der Grad des Polynoms ist 2.

Funktion des grünen Graphen: {f(x)={{x}^{2}}}

Funktion des roten Graphen f(x): Hier gibt es verschiedene Darstellungsformen. 

{\begin{array}{l}f(x)={{x}^{2}}-6x+8\\f(x)={{(x-3)}^{2}}-1\\f(x)=(x-2)\cdot (x-3)\end{array}}

Alle 3 Formen sind gleichwertig, da sie durch Äquivalenzumformung ineinander umgeformt werden können.

…weiter zu quadratischen Funktionen

3. ganzrationale Funktionen

allgemeine Form: {f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\,…\,+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}{{x}^{0}}}

Der Graph ist eine Parabel. Der Grad des Polynoms ist n.

Funktion des roten Graphen (Grad 3): {f(x)=4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-16}

Funktion des grünen Graphen (Grad 6): { g(x)=\frac{1}{2}{{\left( x-3 \right)}^{2}}\cdot x\cdot {{\left( x+3 \right)}^{3}}}6

…weiter zu ganzrationalen Funktionen

4. gebrochenrationale Funktionen

allgemeine Form:

{\begin{array}{l}f(x)=\frac{{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\,…\,+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}{{x}^{0}}}{{{b}_{m}}{{x}^{m}}+{{b}_{m-1}}{{x}^{m-1}}+\,…\,+{{b}_{1}}{{x}^{1}}+{{b}_{0}}{{x}^{0}}}\\\\\left( a,\,b\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge m,\,n\,\in \,\mathbb{N} \right)\end{array}}

Der Graph ist eine Hyperbel.

Funktion des roten Graphen: {g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}}

Funktion des grünen Graphen: {f(x)=\frac{1}{x}}

Funktion des blauen Graphen: {h(x)=\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}}

5. exponentielle Funktionen

allgemeine Form: {f(x)=a\cdot {{b}^{x}}}

Funktion des roten Graphen: {g(x)={{0,5}^{x}}}

Funktion des grünen Graphen: {f(x)={{2}^{x}}}

Funktion des blauen Graphen: {h(x)=2,5\cdot {{2}^{x}}}

6. Wurzel Funktionen (Quadratwurzeln)

allgemeine Form: {f}

Funktion des roten Graphen: {g(x)=\sqrt{x+2}}

Funktion des grünen Graphen: {f(x)=\sqrt{x}}

Funktion des blauen Graphen: {h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}}

7. trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen haben einen periodischen Verlauf.

Funktion des roten Graphen: {g(x)=cos(x)}

Funktion des grünen Graphen: {f(x)=sin(x)}

Funktion des blauen Graphen: {h(x)=tan(x)}

8. Logarithmus Funktionen