quadratische Funktionen

Eine Funktion f  ist eine quadratische Funktion, wenn sie sich mit der folgenden Funktionsgleichung beschreiben lässt: 

{y=f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\,\left( x,\,a,\,b,\,c\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge \,a\ne 0 \right)}

Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt der quadratischen Parabel ist der höchste Punkt (a<0) bzw. der tiefste Punkt (a>0) der Parabel. (Scheitelpunktform)

In der folgenden GeoGebra Animation ist eine quadratische Funktion in der Form  {y=f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c} gegeben. Variiere die Parameter und beobachte, wie sich der Verlaus des Graphen ändert.

Bedeutung der Parameter a, b und c

Parameter a

Für a> 0 ist die Parabel nach oben geöffnet. Für a<0, ist die Parabelnach unten geöffnet. Je größer der Betrag von a, desto steiler verläuft die Parabel.

Parameter b

Verschiebung des Scheitelpunkts der Parabel auf der Parabel g(x)=-ax2 +c

Parameter c

Der Parameter c verschiebt die Parabel um c-Einheiten längs der y-Achse

weitere Darstellungsformen

Statt der oben gegebenen Normalform der quadratischen Gleichung, kann diese auch in einer anderen Form gegeben sein. Das wird im Folgenden unter Punkt 3 beschrieben.

Nullstelle: Zur Berechnung der NST gibt es verschiedene Möglichkeiten:

  1. händische Berechnung mit Hilfe der p-q-Formel
  2. Berechnung mit dem Taschenrechner
  3. mit „etwas Überlegung“
  1. händische Berechnung mit der p-q-Formel

{ \displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}+\text{ }3x\text{ }-2\\{{x}_{0}}\,\,ist\,\,NST\,\Leftrightarrow \,f({{x}_{0}})\,=\,0\\\\0\,=\,2{{x}^{2}}+\text{ }3x\text{ }-2\left| :2 \right.\\0\,=\,\,{{x}^{2}}\,+\,\frac{3}{2}\,x\,-1\,\,\,\,\,Normalform\,\,\,\,\,0=\,{{x}^{2}}\,+\,px\,+\,q\\\\Einsetzen\,\,in\,\,die\,p-q-Formel\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{p}{2}\,\pm \,\sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}\,-\,q\,\,}\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{\frac{3}{2}}{2}\,\pm \,\sqrt{{{\left( \frac{\frac{3}{2}}{2} \right)}^{2}}\,+\,1\,\,}\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{3}{4}\,\pm \,\sqrt{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}\,+\,1\,\,}\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{3}{4}\,\pm \,\sqrt{\frac{9}{16}\,+\,\frac{16}{16}\,\,}\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{3}{4}\,\pm \,\sqrt{\frac{25}{16}}\\{{x}_{1,\,2\,}}=\,-\frac{3}{4}\,\pm \,\frac{5}{4}\\{{x}_{0,1\,}}=\,-\,2;\,\,\,\,{{x}_{0,2}}\,=\,0,5\end{array}}

 

  • Aufstellen der Gleichung
  • Formulierung der Bedingung für NST
  • gegebene Gleichung Null setzen
  • Überführen in die Normalform – das gelingt, indem die Gleichung durch a geteilt wird. Vor dem quadratischen Glied x² steht jetzt der Vorfaktor 1
  • Einsetzen der Parameter p und q in die p-q Formel

2. Berechnung der Nullstellen mit dem Taschenrechner

 

Der TR liefert die Lösungen:

x0,1 = -2 und x0,2 = 0,5

3. mit „etwas Überlegung“ – Linearfaktordarstellung

Überführen der Gleichung in eine Linearfaktordarstellung

Statt die Gleichung in der Form f(x)=ax2+bx+c anzugeben, können wir diese auch in eine Linearfaktordarstellung überführen.

f(x) = ax2 + bx +c = (dx – e) · (fx – h)

Im Beispiel sieht das dann folgendermaßen aus:

{\displaystyle f\left( x \right)\,\text{=}\,2{{x}^{2}}+\text{ }3x\text{ }-2\,=\,(x+2)\cdot \left( 2x-1 \right)}

Wie kommt man auf diese Darstellungsform?

Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir können hier mit der quadratischen Ergänzung oder der Polynomdivision vorgehen.

Was bringt die Linearfaktordarstellung?

Ein Produkt ist NULL, wenn mindestens einer der Faktoren NULL ist!

Wenn wir die Nullstelle suchen, dann muss f(x) = 0 sein.

{ \displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)\,\text{=}\,(x+2)\cdot \left( 2x-1 \right)\\0\,=\,(x+2)\cdot \left( 2x-1 \right)\end{array}}

Damit dieses Produkt Null ist, muss einer der Faktoren (x+2) oder (2x-1) Null sein.

(x+2) ist Null, wenn x = -2

(2x-1) ist Null, wenn x = 0,5

Damit haben wir die Nullstellen der Gleichung gefunden.

In der folgenden GeoGebra Animation ist eine quadratische Funktion in der Linearfaktordarstellung gegeben. Variiere die Parameter und beobachte, wie sich der Verlaus des Graphen ändert.

Scheitelpunktform

Eine weitere Darstellungsform für quadratische Funktionen ist die Scheitelpunktform. Wähle in der folgenden Animation die Scheitelpunktform aus. Setze die Schieberegler a=1 und v=0. Variiere dann den Schieberegler u. Was beobachtest du? Die Parabel wird jeweils um u nach links oder rechts verschoben.

Variiere jetzt den Schieberegler v.

In dieser Form der Parabel können wir den Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. 

Wenn die quadratische Funktion in der Form

f(x) = a·(x-u)²+v

gegeben ist, dann hat der Scheitelpunkt die Koordinaten S(u; v)

Jede quadratische Gleichung lässt ich in die Scheitelpunktform überführen. Ein geeignetes Hilfsmittel dafür ist die quadratische Ergänzung.