Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein Verfahren, bei dem ein Polynom durch ein anderes Polynom dividiert wird. Es kann uns helfen, ein Polynom in eine Linearfaktordarstellung zu überführen.

Das klingt erst mal kompliziert, das ist es auch. Aber wir können uns an der klassischen schriftlichen Division orientieren.

Gegeben sei die Funktion {f(x)=2{{x}^{2}}+3x-2}

Diese Funktion wollen wir in ein Produkt von Linearfaktoren überführen. Dazu „raten“ wir eine Nullstelle der Funktion. Häufig ist dabei das lineare Glied, oder ein Vielfaches davon hilfreich. Wir vermuten, dass (-2) Nullstelle der Funktion f(x) ist. 

Wenn (-2) Nullstelle ist, dann ist (x+2) ein Linearfaktor der Funktion. Wir teilen also f(x) durch den linearfaktor (x-2).

{(2{{x}^{2}}+3x-2)\,:\,(x+2)\,=\,2x}

Aufschreiben der Divisionsaufgabe, dabei sollte darauf geachtet werden, dass die einzelnen Summanden nach ihrem Grad geordnet werden. 

Als erstes wird der höchste Grad des Dividenden durch den höchsten Grad des Divisors geteilt, als 2x²:x. Das Ergebnis (2x)wird auf der rechten Seite der Gleichung notiert.

{\begin{array}{l}(2{{x}^{2}}+3x-2)\,:\,(x+2)\,=\,2x\\\,\,\,\underline{2x\,\,+4x}\end{array}}

… dann wird das „Zwischenergebnis“ 2x mit dem Divisor multipliziert. 2x·(x+2)

Das Produkt wird unter die Positionen der entsprechenden Gerade des Polynoms notiert.

{\begin{array}{l}(2{{x}^{2}}+3x-2)\,:\,(x+2)\,=\,2x\,-1\\\,\,\,\underline{2x\,\,+4x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-x\,\,-2\end{array}}

Wie bei der schriftlichen Division, wird auch hier die Differenz gebildet.

Diese Differenz wieder durch das Glied mit dem höchsten Grad des Divisors geteilt. 

-x : x = -1

{\begin{array}{l}(2{{x}^{2}}+3x-2)\,:\,(x+2)\,=\,2x\,-1\\\,\,\,\underline{2x\,\,+4x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-x\,\,-2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{-x\,\,-2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\end{array}}

Der erhaltene Quotient (-1) wird mit dem Divisor (x+2) multipliziert. Das Produkt wird unter die Positionen der entsprechenden Gerade des Polynoms notiert.

Die Differenz ergibt 0, es gibt also keinen Rest. Es gilt:

{f(x)\,=2{{x}^{2}}+3x-2\,=\,(x+2)\cdot (2x-1)}

Der Taschenrechner bietet eine weitere Möglichkeit, die Linearfaktoren zu ermitteln. 

Der Befehl „factor“ liefert die Linearfaktoren. Mit dem Befehl „simplify“ kann die Polynomdivision durchgeführt werden.  

Unter folgendem Link ist eine Video-Kurzanleitung zu finden. HIER