ganzrationale Funktionen

Eine Funktion f heißt ganzrationale Funktion, wenn sie sich mit der folgenden Funktionsgleichung beschreiben lässt:

{f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}{{x}^{0}}(a,\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\wedge \,{{a}_{n}}\ne 0;\,n\in \,\mathbb{N})}

Die höchste Potenz von x, also n, gibt dabei den Grad der Funktion an. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist eine Parabel.

Die Darstellung in der Form {f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}{{x}^{0}}} wird auch als Polynom bezeichnet.

Was ist ein Polynom?

Ein Polynom ist die Summe der Vielfachen von Potenzen einer Variablen.

Das sieht erstmal kompliziert aus, wird an einigen Beispielen aber sicher deutlich. Dazu werden wir ein Polynom 3. Grades und ein Polynom 4. Grades genauer betrachten.

Beispiel 1 – Polynom 3. Grades

{\begin{array}{l}\operatorname{allgemein}:\,\,f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\\Beispiel:\,\,\,\,f(x)\,=\,{{x}^{3}}\,-{{x}^{2}}-2x\end{array}}

Der höchste Grad des Polynoms ist 3, daher sprechen wir von einem Polynom 3. Grades. Für die Faktoren vor den Potenzen von x gilt:

a=1; b=(-1); c=2; d=0; Die Faktoren b, c und d können alle beliebigen Werte annehmen. a darf aber nicht 0 sein (a≠0), sonst hätte die Funktion einen kleineren Grad.

Wie können wir bei diesem Polynom die Nullstelle bestimmen?

Die pq-Formel ist zunächst nicht geeignet, da es dort um quadratische Funktionen geht.

Erinnern wir uns an den wichtigsten Satz der Mathematik: „Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.“ Wir werden den Funktionsterm in ein Produkt zerlegen.

{ \begin{array}{l}g(x)\,=\,{{x}^{3}}\,-{{x}^{2}}-2x\\g(x)\,=\,x\,\centerdot \left( {{x}^{2}}\,-x-2 \right)\end{array}}

Wir können x aus dem Funktionsterm ausklammern und erhalten dann ein Produkt. Dieses Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Die erste Nullstelle können wir direkt ablesen: x01=0

Die zweite und dritte Nullstelle können wir jetzt mithilfe der pq-Formel berechnen.

{\begin{array}{l}f(x)\,=\,{{x}^{3}}\,-{{x}^{2}}-2x\\f(x)\,=\,x\cdot ({{x}^{2}}-x-2)\\{{x}_{01}}=0\end{array}}

{ \displaystyle \begin{array}{l}0={{x}^{2}}-x-2\\{{x}_{02,03}}=\,-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}\\{{x}_{02,03}}=\,-\frac{\left( -1 \right)}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{\left( -1 \right)}{2} \right)}^{2}}-\left( -2 \right)}\\{{x}_{02,03}}=\,\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+2}\\{{x}_{02,03}}=\,\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}}\,=\,\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}\\{{x}_{02}}=\,-1;\,{{x}_{03}}=+2\end{array}}

Der zweite Faktor (x²-x-2) ist bereits in der Normalform für die p-q-Formel gegeben, sodass wir direkt einsetzen können.

Beispiel 2 - Polynom 4. Grades

{\begin{array}{l}\operatorname{allgemein}:\,\,f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\\Beispiel:\,\,\,\,g(x)\,=\,{{x}^{4}}\,+3{{x}^{3}}-4x\end{array}}

Der höchste Grad des Polynoms ist 4, daher sprechen wir von einem Polynom 4. Grades. Für die Faktoren vor den Potenzen von x gilt:

a=1; b=3; c=0; d=-4; e=0

Die Faktoren b, c, d und e können alle beliebigen Werte annehmen. a darf aber nicht 0 sein (a≠0), sonst hätte die Funktion einen kleineren Grad.

Wie können wir bei diesem Polynom die Nullstelle bestimmen?

Auch hier ist die p-q-Formel zunächst nicht geeignet, da es dort um quadratische Funktionen geht.

Erinnern wir uns an den wichtigsten Satz der Mathematik: „Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.“ Wir werden den Funktionsterm in ein Produkt zerlegen.

{\begin{array}{l}g(x)\,=\,{{x}^{4}}\,+3{{x}^{3}}-4x\\g(x)\,=\,x\cdot \left( {{x}^{3}}\,+3{{x}^{2}}-4 \right)\\{{x}_{01}}=0\end{array}}

Am zweiten Faktor {\left( {{x}^{3}}\,+3{{x}^{2}}-4 \right)} können wir die Nullstellen nicht direkt erkennen. Da der Term den Grad 3 hat, hilft auch die pq-Formel nicht weiter.

Hier gibt es zwei Möglichleiten, wie die Nullstellen gefunden werden können – Polynomdivision oder mithilfe des Taschenrechners.

Polynomdivision

{\begin{array}{l}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4 \right)\,:\,\left( x-1 \right)\,=\,{{x}^{2}}+4x-4\\\,\underline{\,{{x}^{3}}\,-{{x}^{2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4{{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{4{{x}^{2}}\,\,-4x\,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4x\,-4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{-4x\,-4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\end{array}}

Wir haben das Polynom dritten Grades in ein Produkt aus zwei Polynomen zerlegt:

{\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\,=\,\left( x-1 \right)\cdot \left( {{x}^{2}}+4x-4 \right)}

Der erste Faktor liefert die zweite Nullstelle. x02=1

Den zweiten Faktor {\left( {{x}^{2}}+4x-4 \right)} ist ein Polynom vom Grad 2.

{0 =\left( {{x}^{2}}+4x-4 \right)}

Diese Gleichung können wir mit verschiedenen Verfahren lösen:

 {{{x}^{2}}+4x-4={{\left( x-2 \right)}^{2}}}

Damit haben wir auch die 3. Nullstelle gefunden.

Damit hat unser Polynom die Form:

{g(x)\,=\,{{x}^{4}}\,+3{{x}^{3}}-4x\,=x\cdot \left( x-1 \right)\cdot {{\left( x+2 \right)}^{2}}}

Der letzte Faktor (x+2)2 tritt aber quadratisch auf. Wir könnten die Funktion also auch als Produkt von Linearfaktoren schreiben:

{g(x)\,=\,x\cdot \left( x-1 \right)\cdot \left( x+2 \right)\cdot \left( x+2 \right)}

ACHTUNG! An der Stelle (-2) liegt eine doppelte Nullstelle vor.

{{{x}_{01}}=0;\,{{x}_{02}}=1;{{x}_{03,04}}=\left( -2 \right)}