Nullstelle NST

Die Nullstelle (kurz NST), das Finden von Nullstellen und die Arbeit mit Nullstelle, sind zentrale Kompetenzen bei der Arbeit mit Funktionen. Statt dem Finden einer Nullstelle wird häufig auch vom Lösen einer Gleichung gesprochen. Diese Aussagen können synonym verwendet werden.

x0 ist Nullstelle, wenn gilt: f(x0) = 0

Die folgenden Betrachtungen beschränken sich weitgehend auf ganzrationale Polynome n-ten Grades

Wie viele Nullstellen eine Funktion hat, wird weiter unten beantwortet.  

Die Nullstelle ist die Stelle, an der der Graph auf die Abszisse (x-Achse) trifft. Dabei kann der Graph die x-Achse auf verschiedene Weisen treffen.

Formen von Nullstellen

  • A – Schnittpunkt (einfache Nullstelle)
  • B – Berührpunkt (doppelte Nullstelle)
  • C – Sattelpunkt (dreifache Nullstelle)

Nullstellen können auf verschiedene Weisen bestimmt werden. Dabei gibt es keine falschen und richtigen Verfahren. Die verschieden Verfahren sind, wie Werkzeuge, nur für bestimmte Funktionen mehr oder weniger gut geeignet.

Im Folgenden sollen einige Verfahren näher betrachtet werden. Die Wahl des Verfahrens hängt dabei entscheidend vom Grad der Funktion ab.

Natürlich können Nullstellen grundsätzlich auch mit dem Taschenrechner bestimmt werden. Zur Kontrolle ist das auch ok. Die Beschränkung auf den Taschenrechner, trägt aber nicht zum Verständnis bei und ist in den Hilfsmittel-freien Teilen von Klausuren und Abitur nicht hilfreich!

Funktionen 1. Grades – lineare Funktionen

f(x) = 0 setzen und nach x auflösen

{ f(x)=2x-3}

x0 ist NST genau dann wenn {f\left( {{x}_{0}} \right)=0}

{ \begin{array}{l}0=2x-3\\3=2x\\{{x}_{0}}=\frac{3}{2}\end{array}}

Funktion 2. Grades - quadratische Funktionen

Beispiel: {f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+2x-2}

Überführen in die Normalform zur Anwendung der pq-Formel:

{\displaystyle \begin{array}{l}f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+2x-2\\{{x}_{0\,}}\,ist\,\,NST\,\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)\,=0\\0=4{{x}^{2}}+2x-2\left| :4 \right.\\0\,=\,{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\\\{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}\\{{x}_{1,2}}=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}}\\{{x}_{1,2}}=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}\\{{x}_{1,2}}=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{9}{16}}\,\,=-\frac{1}{4}\pm \frac{3}{4}\\\\{{x}_{01}}=\frac{1}{2};\,\,\,{{x}_{02}}=-1\end{array}}

Funktionen 3. Grades - kubische Funktionen

{ f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}

Fallunterscheidungen:

  1.  d = 0
  2.  d = 0  und  c = 0
  3. d = 0  und  c = 0  und c = 0
  4.  alle anderen Fälle

 

zu 1.

{ f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx} → x  ausklammern   x1 = 0

{{f(x)=x\cdot \left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}} weiter wie für Grad n=2

zu 2.

{f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}}  → x2 ausklammern  x1,2  = 0

{f(x)={{x}^{2}}\cdot \left( ax+b \right)}  weiter wie für Grad n = 1

zu 3.

{f(x)=a{{x}^{3}}}                          x1 = 0

zu 4.

Bestimmen (Finden) der ersten Nullstelle x1 , Abspalten des Linearfaktors (x- x1) durch Polynomdivision, weiter wie für Grad n=2

Funktion 4. Grades

Einfacher wird es, wenn die Funktion statt in der Polynomdarstellung, in der Linearfaktordarstellung gegeben ist. Hier können wir die Nullstellen direkt ablesen.

Wie viele Nullstellen hat eine Funktion?

Ein ganzrationales Polynom n-ten Grades hat im Bereich der Komplexen Zahlen genau n Nullstellen, wobei jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit gezählt wird.

Komplexe Zahlen werden leider erst im Studium behandelt. Dabei sind sie eigentlich gar nicht schwer zu verstehen. Hier nur kurz – bei den Komplexen Zahlen handelt es sich um eine weitere Zahlenbereichserweiterung. Im Bereich der Komplexen Zahlen können auch Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden.

Beispiel: Welche Lösung hat die Gleichung x²=(-1)?

{\displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}\,=\left( -1 \right)\\{{x}_{1,2}}=\sqrt{\left( -1 \right)}\\{{x}_{1}}=i\,\wedge \,{{x}_{2}}=\left( -i \right)\end{array}}

Eine Komplexe Nullstelle tritt also immer paarweise auf. 

Wenn ein Polynom n-ten Grades im Bereich der Komplexen Zahlen genau n Nullstellen hat, dann hat das gleiche Polynom im Bereich der Reellen Zahlen höchstens n Nullstellen.

Da komplexe Nullstellen immer paarweise auftreten, gilt im Bereich der Reellen Zahlen:

  • Ein Polynom vom Grad 1 hat immer genau 1 Nullstelle.
  • Ein Polynom vom Grad 2 hat genau 2 NST oder keine NST.
  • Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 1 NST oder 3 NST.
  • Ein Polynom vom Grad 4 hat keine, 2 oder 4 NST
  • Ein Polynom vom Grad 5 hat 1 NST, 3 NST oder 5 NST.

Die folgende GeoGebra Animation soll das Verständnis für Nullstellen unterstützen. Wähle dazu den Grad der Funktion (1 bis 5) und verschiebe die Graphen mit dem Schieberegler vn nach oben und untern. Beobachte, wie sich die Anzahl der Nullstellen ändert.