pq-Formel - Lösungsformel der quadratischen Gleichung

Die pq-Formel bzw. die Lösungsformel der quadratischen Gleichung ist eine einfache und übersichtliche Möglichkeit, zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Auf die Herleitung der pq-Formel soll auf dieser Seite verzichtet werden. Die Herleitung wird auf dieser Seite in kleinen übersichtlichen Schritten erläutert.

${ \huge \begin{array}{l}{{x}^{2}}+px+q=0\\{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,}\end{array}}$

Um die pq-Formel nutzen zu können, müssen wir als erstes unsere quadratische Gleichung in die Normalform ${{{x}^{2}}+px+q=0}$ überführen.

Wenn die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form ${{{ax}^{2}}+bx+c=0}$ gegeben ist, dann muss diese nur durch a geteilt werden.

${\begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c=0\left| :a \right.\\\\\frac{a}{a}{{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+c=0\\\\\frac{a}{a}=1;\,\,\,\frac{b}{a}=p;\,\,\,\frac{c}{a}=q\end{array}}$

Was können wir an der pq-Formel erkennen?

$\begin{array}{l}{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}\\\\{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\underbrace{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}_{\text{Diskriminante}}}\end{array}$

Der Term unter der Wurzel wird auch als Diskriminante D bezeichnet.

$\begin{array}{l}{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,>0\\\\{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,=0\\\\{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,<0\end{array}$

Wenn D>0, dann ist der Term unter der Wurzel positiv. Es gibt zwei Lösungen x₁ und x₂
Wenn D=0, dann ist der Term unter der Wurzel 0. Es gibt eine Lösungen x₁ = x₂
Wenn D<0, dann ist der Term unter der Wurzel negativ. Es gibt keine Lösung.