pq-Formel - Lösungsformel der quadratischen Gleichung

am Ender der SeiteDie pq-Formel bzw. die Lösungsformel der quadratischen Gleichung ist eine einfache und übersichtliche Möglichkeit, zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Auf die Herleitung der pq-Formel soll auf dieser Seite verzichtet werden. Die Herleitung wird am Ende der Seite in kleinen Schritten erläutert.

${ \huge \begin{array}{l}{{x}^{2}}+px+q=0\\{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,}\end{array}}$

Um die pq-Formel nutzen zu können, müssen wir als erstes unsere quadratische Gleichung in die Normalform ${{{x}^{2}}+px+q=0}$ überführen.

Wenn die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form ${{{ax}^{2}}+bx+c=0}$ gegeben ist, dann muss diese nur durch a geteilt werden.

${\begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c=0\left| :a \right.\\\\\frac{a}{a}{{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+c=0\\\\\frac{a}{a}=1;\,\,\,\frac{b}{a}=p;\,\,\,\frac{c}{a}=q\end{array}}$

Was können wir an der pq-Formel erkennen?

$\begin{array}{l}{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}\\\\{{x}_{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\underbrace{{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q}_{\text{Diskriminante}}}\end{array}$

Der Term unter der Wurzel wird auch als Diskriminante D bezeichnet.

$\begin{array}{l}{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,>0\\\\{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,=0\\\\{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}-q\,<0\end{array}$

Wenn D>0, dann ist der Term unter der Wurzel positiv. Es gibt zwei Lösungen x₁ und x₂
Wenn D=0, dann ist der Term unter der Wurzel 0. Es gibt eine Lösungen x₁ = x₂
Wenn D<0, dann ist der Term unter der Wurzel negativ. Es gibt keine Lösung.

Herleitung der pq-Formel

Um eine quadratische Gleichung lösen zu können, bringen wir sie in die Normalform:

x² + px + q = 0

Dann formen wir die Gleichung schrittweise um. Dazu bringen wir zunächst das konstante Glied q auf die andere Seite der Gleichung.

${\begin{array}{l} x +2x^2 &=1 \\ y &=2 \end{array} }$

Wir führen auf der linken Seite der Gleichung eine quadratische Ergänzung durch.

${\begin{array}{l} x^2+px\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&=\,\,-q{{\left| +\left( \frac{p}{2} \right) \right.}^{2}} \\ \underbrace{{{x}^{2}}+px+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}}_{\begin{smallmatrix} Anwenden\,\,der\, \\ 1.\,binomischen\,\,Formel \end{smallmatrix}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&=\,-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}\, \\\\ {{\left( x+\frac{p}{2} \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&=\,-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}\, \\ \end{array} }$

Jetzt können wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen.

Wie ist die Wurzel definiert?

Die Wurzel aus a ist definiert, als diejenige nichtnegative Zahl b für die gilt: b² = a.

Die Gleichung x²= 4 hat aber zwei Lösungen x₀₁=2 und x₀₂= (-2). Das müssen wir bei der Umformung berücksichtigen.

${\begin{array}{l} \sqrt{{{\left( x+\frac{p}{2} \right)}^{2}}\,}=\sqrt{-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}}\, \\ \\ {{x}_{1,2}}+\frac{p}{2}\,=\,\pm \sqrt{-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}}\left| -\frac{p}{2} \right. \\ \,\\{{x}_{1,2}}=\,\,-\frac{p}{2}\,\,\pm \,\sqrt{-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}} \\ \end{array} }$

Mit dieser Gleichung können wir jede quadratische Gleichung, die sich in der Normalform befindet auflösen. Den Term unter der Wurzel nennen wir Diskriminante D.

${\begin{array} {l} \large {{x}_{1,2}}=\,\,-\frac{p}{2}\,\,\pm \,\sqrt{\underbrace{-q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}}_{\text{Diskriminante}}} \end{array} }$

An der Gleichung, speziell an der Diskriminante, können wir die Anzahl der möglichen Lösungen erkennen:

Diskriminante > 0 => zwei Lösungen
Diskriminante = 0 => eine Lösung
Diskriminante < 0 => keine Lösung