Bewegungsenergie / kinetische Energie
Bewegungsenergie, kinetische Energie, Ekin, Bewegung, Energie, Energieumwandlung
Auf dieser Seite wird die Formel zur Berechnung der Bewegungsenergie (bzw. kinetischen Energie) hergeleitet. Dabei werden zwei verschiedene Ansätze vorgestellt.
Vorüberlegungen
Aus den Versuchen in Klasse 7/8 kennst du bereits die Lageenergie Epot. Zur Vereinfachung werden wir bei den folgenden Überlegungen die Reibung vernachlässigen.
An verschiedenen Versuchen konnten wir beobachten, dass Energie umgewandelt werden kann. Ein Beispiel war die Umwandlung von Lageenergie in Bewegungsenergie.
In Bild ►01 können wir nicht nur die Umwandlung erkennen. An den Konten sehen wir auch, dass die Energie erhalten bleibt.
Die Lageenergie Epot ist zum Beginn des Experimentes genauso groß, wie die Bewegungsenergie Ekin am Ende des Experimentes. Die Summe der beiden Energieformen ist zu jedem Zeitpunkt konstant.
Abhängigkeiten
Reaktivierung zur Lageenergie
Wenn du zur Lageenergie alles weißt, dann geht es hier weiter.
Die Lageenergie ist von folgenden Faktoren abhängig:
- Masse des Körpers
- Höhe des Körpers
- Ortsfaktor g
Dabei gaben wir festgestellt:
{\large \left. \begin{array}{l}{{E}_{pot}}\,\,\tilde{\ }\,\,m\\ {{E}_{pot}}\,\,\,\tilde{\ }\,h\end{array} \right\}{{E}_{pot}}\,\,\tilde\,\,{\ }m\cdot h }
Der Proportionalitätsfaktor ist der Ortsfaktor g. Auf der Erde beträgt der Ortsfaktor ca. {\large 10\,\frac{N}{kg} }
Für die Lageenergie Epot gilt: {\large {{E}_{pot}}=m\cdot g\cdot h }
Welche Faktoren haben Einfluss auf die Bewegungsenergie?
Hypothesen
Wir vermuten, dass:
- je schneller ein Körper, desto größer seine Bewegungsenergie Ekin.
- je größer die Masse m eines Körpers, desto größer seine Bewegungsenergie Ekin.
Diese Hypothesen können wir mit jeweils einem Gedankenexperiment untermauern. Wie bei allen Experimenten, müssen wir dabei darauf achten, nur eine der Größen zu variieren.
Als Indikator soll uns der rote PKW ►02 / 03 dienen. Die Verformungen am PKW sind dabei ein Maß für die Bewegungsenergie.
zu 1. Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
Ein Pkw fährt auf einen anderen PKW auf.
Je größer die Geschwindigkeit, desto größer der Schaden.
Die Länge des Pfeils soll als Maß für die Geschwindigkeit dienen.
zu 2. Abhängigkeit von der Masse
Eine Fliege, ein Fahrrad, ein PKW und ein LKW fahren jeweils mit der gleichen Geschwindigkeit v auf den roten PKW auf. Das Ergebnis dieses Gedankenexperiments können wir auch ohne die Durchführung formulieren.
Verschiedene Körper bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit auf den PKW zu.
Je größer die Masse der Körper, desto stärker die Schäden am PKW.
Beide Gedankenexperimente bestätigen die Hypothesen.
Die Bewegungsenergie eines Körpers ist von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit abhängig.
Quantitative Untersuchung
Um auf den genauen Zusammenhang von Masse m, Geschwindigkeit v und Bewegungsenergie Ekin zu kommen, schauen wir uns im Folgenden zwei Wege an:
- experimentelle Methode – Herleitung aus Messwerten
- deduktive Methode (mathematische Voraussetzungen Klasse 12)
1. zur experimentelle Methode - Herleitung aus Messwerten
Wir betrachten den Fall eines Körpers. Dabei vernachlässigen wir die Reibung. Damit wird klar, dass in jeder Höhe die abgegebene Lageenergie Epot gleich der kinetischen Energie Ekin ist.
Ekin = Epot
Wir betrachten die Höhen h und berechnen die Geschwindigkeit, die ein frei fallender Körper nach der Fallhöhe h hat. Für die Masse des Körpers wählen wir 1 kg.
{\large \displaystyle (\left. \begin{array}{l}(\,I\,)\,\,s\ =\,\frac{g}{2}\,\cdot \,\textcolor{red}{{{t}^{2}}}\\II)\,\,v\,=\,g\,\cdot \,t\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \textcolor{red} {t\,=\,\frac{v}{g}}\,\end{array} \right\}\left| \begin{array}{l}Einsetzen\,\,in\,\,Gleichung\,\,(I)\\s=\frac{g}{2}\cdot \textcolor{red} {\frac{{{v}^{2}}}{{{g}^{2}}}}\\s=\frac{{{v}^{2}}}{2g}\\v=\sqrt{2\cdot s\cdot g}\end{array} \right. }
Das Geschwindigkeits-Energie-Diagramm liefert eine Parabel. Das konstante Glied (+ 3·10-13) ist vernachlässigbar. Da es sich um berechnete Werte handelt, ist die Korrelation erwartungsgemäß 1.
Wir erkennen, dass E ~ v2
Da die kinetische Energie gleich der Lageenergie ist, wissen wie: E ~ m
Also gilt für die kinetische Energie:
{\large\left. \begin{array}{l}{{E}_{kin}}\,\sim \,m\\{{E}_{kin}}\,\sim \,{{v}^{2}}\end{array} \right\}\,{{E}_{kin}}\,\sim \,m\,\cdot \,{{v}^{2}} }
Da wir alle drei Größen Ekin, v und m kennen, können wir den Proportionalitätsfaktor berechnen.
{\large\begin{array}{l}{{E}_{kin}}\,\sim\,m\,\cdot\,{{v}^{2}}\\\frac{{{E}_{kin}}}{m\,\cdot \,{{v}^{2}}}\,=\,konst.\end{array} }
Die Berechnung liefert den Proportionalitätsfaktor ½. Den Proportionalitätsfaktor können wir aber auch schon im Diagramm in der Regressionsgleichung ablesen.
Die Einheitenbetrachtung zeigt, dass der Proportionalitätsfaktor dimensionslos ist.
{\large\displaystyle\left[\frac{{{E}_{kin}}}{m\,\cdot\,{{v}^{2}}} \right]\,=\,\,1\frac{Nm}{kg\,\cdot \,\frac{{{m}^{2}}}{{{s}^{2}}}}\,=\,1\frac{N\,m\,\cdot\,{{s}^{2}}}{kg\,\cdot \,{{m}^{2}}}\,=\,1\frac{kg\,\cdot\,m\,\cdot\,m\,\cdot\,{{s}^{2}}}{{{s}^{2}}\,\,kg\,\cdot \,{{m}^{2}}}\,=\,1 }
zur Schreibweise: Wenn die Größen in eckigen Klammern stehen, dann folgen danach die Einheiten.
{\huge E\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot \,m\,\cdot \,{{v}^{2}} }
zu 2. deduktive Herleitung
Allgemein gilt, dass die Fläche unter dem Graphen im Weg-Kraft-Diagramm ein Maß für die Energie ist. (Mathematik Klasse 12)
{\huge E\,=\,\int{F\,ds} }
Ist die Kraft F konstant, dann vereinfacht sich die Fläche unter dem Graphen zu einem Rechteck. Es gilt also:
{\huge E\,=\,F\,\cdot \,s }
{\large \begin{array}{l}E\,=\,\int{F\,ds\,\,}\xrightarrow{F\,=\,konst.}\,E\,=\,F\,\cdot \,s\\\\ E\,=\,\,\,\,\,\, \textcolor{blue}{F}\,\,\,\,\cdot \,\,\,\,\,\,\,\, \textcolor{red}{s}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \textcolor{blue}{F\,=\,m\,\cdot \,a}\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \textcolor{red}{s\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot \,a\,\cdot \,{{t}^{2}}}\\\\E\,=\, \textcolor{blue}{m\,\,\cdot \,\,a}\,\,\,\cdot \,\,\,\ \textcolor{red} {\frac{1}{2}\,\cdot \,a\,\cdot \,{{t}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v\,=\,a\,\cdot \,t\,\Rightarrow \, \textcolor{green}{t\,=\,\frac{v}{a}}\\\\E\,=\,m\,\,\cdot \,\,a\,\,\,\cdot \,\,\frac{1}{2}\,\cdot \,a\,\cdot \,\textcolor{green}{\frac{{{v}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\\\\ E\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot \,m\,\cdot \,{{v}^{2}}\end{array}}
Da wir hier die Bewegungsenergie bzw. die kinetische Energie Ekin hergeleitet haben, gilt:
{\huge {{E}_{kin}}=\frac{1}{2}m\cdot {{v}^{2}}}