Induktion einer sinusförmigen Wechselspannung
Induktion, sinusförmige Wechselspannung, Induktion, Sinusform, Spule, Leiterschleife, magnetische Flussdichte, Fluss
Hinweis: Die Bezeichnungen A⊥ und A‘, sowie b⊥ und b‘ werden i.d.R. synonym verwendet. Bei den folgenden Formeln werde ich den Index „⊥“ nutzen, um keine Verwechslungen mit dem Strich der Ableitung zu riskieren.
Induktion - allgemein
Eine Spule dreht sich entsprechend ►01 im homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B.
Durch die Drehung der Spule ändert sich der Flächenanteil A⊥ der Spule, die senkrecht zum Magnetfeld steht.
Die Fläche der rechteckigen Spule berechnet sich mit A=a·b. Der Flächenanteil, der senkrecht zur Spule steht beträgt dann in Abhängigkeit vom Drehwinkel α:
Rotierende Spule im Magnetfeld
rotierende Leiterschleife - GeoGebra
Leiterschleife - von A zu A'
Induktion
Da sich die Fläche A der Spule, die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt wird ändert, ändert sich auch der magnetische Fluss Φ. Es wird also eine Spannung induziert.
{\left. \begin{array}{l} & {{U}_{ind}}=\,-n\cdot \frac{d\Phi }{dt}=-n\cdot \overset{\bullet }{\mathop \Phi }\,\, \\\\ & \Phi =B\cdot A \\ \end{array} \right\}{{U}_{ind}}=-n\cdot \frac{d(B\cdot A)}{dt} }
Nach der Produktregel beim Ableiten gilt: (A·B)‘=A’B+AB‘
Da die magnetische Flussdichte B konstant ist, ist der Term (AB‘)=0. Da wir in unserem Beispiel nur eine Leiterschleife betrachten, ist n=1.
{\large \begin{array}{l} {{U}_{ind}}=-n\cdot \frac{d(B\cdot A)}{dt} \\\\ {{U}_{ind}}=-\underbrace{n}_{1}\cdot \,A'B\,+\,\underbrace{AB'}_{0} \\\\ {{U}_{ind}}=\,-B\cdot \,\frac{dA}{dt} \end {array} }
Die Spule dreht sich mit gleicher Geschwindigkeit. Die Fläche A⊥, die sich senkrecht zu den magnetischen Feldlinien liegt ist:
{ \large\left. \begin{array}{l} & A=a\cdot b\,\,\,\,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,\,\,{{A}_{\bot }}=a\cdot {{b}_{\bot }} \\\\ & \left. \begin{array}{l} & {{b}_{\bot }}=b\cdot \cos \left( \alpha \right) \\ & \alpha \,=\,\omega t \\ \end{array} \right\}\,\,\,\,{{b}_{\bot }}=b\cdot \cos \left( \omega t \right) \\ \end{array} \right\}\,{{A}_{\bot }}=\underbrace{a\cdot b}_{A}\cdot \cos \left( \omega t \right) }
{ \large \begin{array}{l} \Phi =B\cdot A\cdot \cos \left( \omega t \right) \\ \\ \overset{\bullet }{\mathop \Phi }\,\,=B\cdot A\cdot \frac{d \,\left[\cos \left( \omega t \right) \right]}{dt}=B\cdot A\cdot \omega \cdot \left[ -\sin \left( \omega t \right) \right] \\ \end{array} }
Die Kreisfrequenz ω (sprich „omega“) gibt an, wie schnell eine Schwingung abläuft.
{\large \omega =2\pi \cdot f=\frac{2\pi }{T}}
{\large \left[ \omega \right]=\frac{1}{s} }
Während die Frequenz f die Anzahl der Schwingungen pro 1 Sekunde angibt (1 Hz), gibt die Kreisfrequenz den Winkel an, der pro Zeiteinheit überstrichen wird. Als Winkelmaß dient hier das Bogenmaß, in dem der Vollwinkel 2π beträgt, also die Länge des Einheitskreises. Die Winkeleinheit im Bogenmaß ist „rad“ bzw. „1“.
Eine verkettete Funktion liegt vor, wenn der Variable (z.B. x) mehrere Zuordnungsvorschriften nacheinander und in Abhängigkeit zugeordnet sind.
Beispiel:
- Verkettung:
- f(x) = sin(a·x)
- Hier liegt eine Verkettung vor. Es muss erst das x mit a multipliziert werden. Von diesem Wert wird dann der Sinus bestimmt.
- keine Verkettung:
- f(x) = 2x2 + x
- Hier liegt keine Verkettung vor. Die Zuordnungen können hier additiv gelöst werden.
Für die Ableitung verketteter Funktionen gilt: Ableitung = innere Ableitung · äußere Ableitung
{\begin{array}{l} f(x)=g\left( h\left( x \right) \right) \\ \\ f'\left( x \right)=g'\left( h\left( x \right) \right)\,\cdot \,h'\left( x \right) \\ \end{array}}
Beispiel 1: Ableitung der Funktion f(t)=sin(ωt) nach t
{\begin{array}{l} f\left( t \right)=\sin \left( \omega t \right) \\ \\ \ddot{a}ußere\,\,Funktion:\,\sin \left( … \right)\,\,……..\,\,Ableitung:\,\,\cos \left( … \right) \\ innere\,\,Funktion:\,\,\left( \omega t \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,……..\,Ableitung:\,\,\omega \\ \\ f'\left( t \right)=\cos \left( \omega t \right)\,\cdot \,\omega \,\,=\,\,\omega \cdot \cos \left( \omega t \right) \\ \end{array}}
Beispiel 2:
Eine alternative Schreibweise findet man häufig mit f(x)=u(v(x))
{\begin{array}{l} f(x)={{\left( {{x}^{4}}+5 \right)}^{2}} \\ \\ f(x)=u\left( v\left( x \right) \right) \\ \\ v(x)= {{x}^{4}}+5\,\,………………….\,\,v'(x)=4{{x}^{3}} \\ u(v)=\, {{v}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,…………………..\,\,u'(v)=2v \\ \\ f'(x)=\underbrace{u'\left( v\left( x \right) \right)}_{\ddot{a}uere\,\,Ableitung}\cdot \,\underbrace{v'\left( x \right)}_{innere\,\,Ableitung} \\ \\ f'(x)=\,2\left( {{x}^{4}}+5 \right)\cdot 4{{x}^{3}}\,\,=8{{x}^{3}}\left( {{x}^{4}}+5 \right) \\ \end{array}}
Induktionsspannung
Damit ergibt sich für die Induktionsspannung Uind:
{\begin{array}{l} {{U}_{ind}}=-n\cdot \overset{\bullet }{\mathop \Phi }\,\,=\,-n\cdot B\cdot A\cdot \omega \cdot \left[ -\sin \left( \omega t \right) \right] \\\\ \large {{U}_{ind}}=\underbrace{n\cdot B\cdot A\cdot \,\omega }_{konstant}\cdot \sin \left( \omega t \right) \\ \end {array} }
Die Windungszahl n, die magnetische Flussdichte B, die Fläche A und die Kreisfrequenz ω sind konstant. Damit genügt die induzierte Spannung Uind einer von der Zeit abhängigen sinusförmigen Funktion.
GeoGebra zur Induktion einer sinusförmigen Wechselspannung
Variiere in der folgenden Simulation die Windungszahl, die Fläche der Spule, die magnetische Flussdichte und die Drehfrequenz. Achte darauf, dass du nur eine Größe zur Zeit änderst und beschreibe deine Beobachtungen.
Die GeoGebra Animation simuliert eine Messung mit dem Oszillographen. Du kannst also auch die Messbereiche für die Spannung und die Zeit anpassen. Ein Teilstrich entspricht (wie auf dem Oszi) der Kästchenlänge.