Bogenmaß und Einheitskreis

Schlagwörter: Bogenmaß, Einheitskreis, Radiant, Winkel, Bogenlänge

Das Bogenmaß bzw. der Radiant ist eine Möglichkeit, Winkel anzugeben. Bisher haben wir Winkel stets in Grad angegeben. Dabei hatte der Vollwinkel 360°.

Für die neue Einheit, das Bogenmaß, benötigen wir zunächst einen Einheitskreis. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 L.E. (Längeneinheit).

Der Umfang u des Kreises berechnet sich mit der Formel

u = 2πr

Da der Einheitskreis den Radius 1 hat, ist der Umfang des Einheitskreises u_Einhkr= 2π

Wie groß ist der rot markierte Bogen?

${\large \frac{b}{\alpha }\,=\,\frac{u}{360{}^\circ }\,\,\Leftrightarrow \,\,b\,=\,\frac{u\cdot \alpha }{360{}^\circ }}$

Wenn wir jetzt für u = 2π einsetzen, dann erhalten wir:

${\large b\,=\,\frac{2\pi \alpha }{360{}^\circ }\,=\,\frac{\pi \alpha }{180{}^\circ }}$

Einheit Bogenmaß: [b] = 1 rad

Im SI-Einheitensystem ist das Bogenmaß definiert als ${\large 1\,rad\,=\,\frac{1\,m}{1\,m}\,=\,1}$

Im Einheitskreis ist die Angabe der Bogenlänge ein eindeutiges Maß für den Winkel. Statt der Angabe in Grad, können Winkel auch im Bogenmaß angegeben werden.

Bei der Eingabe in den Taschenrechner musst du die Einstellung auf dem Rechner beachten. Die meisten Rechner bieten die Einstellungen:

DEG – α in Grad
RAD – α im Bogenmaß

${\large b\,=\,\frac{\pi \alpha }{180{}^\circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,=\,\frac{b\cdot 180{}^\circ }{\pi }}$

Einige Rechner bieten noch die Einstellung GRD oder GON. Diese steht für „Neugrad“. Bei Neugrad ist der Vollwinkel auf 400 gon normiert. Der rechte Winkel hat in der Einheit Neugrad 100 gon. Diese Winkeleinstellung ist in der Schule und den meisten Studienrichtungen (Ausnahme Architektur und Vermessungswesen) nicht erforderlich.

Wenn in EXCEL mit Winkeln gearbeitet wird, müssen diese im Bogenmaß angegeben werden.