Effektivwert der Wechselspannung - Herleitung über das Integral
Wechselspannung, Wechselstrom, Effektivwert, Spitzenspannung, Amplitude, Integral
Effektivwert der Spannung
Aus der Mittelstufe wissen wir, dass
{\large {{U}_{eff}}\,=\,\widehat{U}\,\cdot \,\frac{1}{\sqrt{2}}}
Wie kommen wir auf den Faktor {\frac{1}{\sqrt{2}}} ?
⇒ zur Herleitung von Ueff (alternativer Ansatz)
Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung entspricht dem Wert der Gleichspannung U– , der eine Lampe gleich hell leuchten lässt.
Für die Helligkeit einer Lampe ist die Leistung verantwortlich, also P=U·I
Wir müssen also die Leistung der Wechselspannung betrachten. Die Größen der Wechselspannung werden in der Folge als Funktion der Zeit (t) dargestellt. ►02
{\begin {array}{l} P\left( t\right)=U\left( t \right)\,\,\cdot \,\,I\left( t \right) \\\\ U(t)=\widehat{U}\,\cdot \,sin(\omega t) \\\\ I(t)=\widehat{I}\,\cdot \,sin(\omega t) \\ \end{array} }
Wir setzen jetzt in unsere Ausgangsgleichung für die Leistung ein.
{\begin{array}{l} P(t)=\widehat{U}\,\cdot \,sin(\omega t)\cdot \widehat{I}\,\cdot \,sin(\omega t) \\ \\ P(t)=\widehat{U}\,\cdot \,\widehat{I}\,\cdot si{{n}^{2}}(\omega t) \\ \end{array} }
Über einen Zeitraum T wird dann die Energie E umgesetzt. Wir schauen uns daher den Verlauf einer Periode genauer an. ►05
Die effektive Leistung
Wie groß ist die effektive Leistung?
{ \large P=\frac{Energieumsatz}{Zeit}=\frac{E}{t}}
Bei konstanter Leistung würde gelten, dass E=P×t
Da die Leistung hier aber von der Zeit abhängt, müssen wir die Fläche unter dem Graphen im t-P(t)-Diagramm betrachten, das Integral.
Zur Bestimmung der Fläche unter dem Graphen
Anschauliche Lösung des Integrals
Die Animation ►05 zeigt die Lösung des Integrals auf anschauliche Weise. Wir teilen dazu die Fläche unter dem Graphen auf der Höhe P/2.
Wenn wir die beiden Bögen oberhalb von P/2 drehen, dann erhalten wir ein Rechteck mit den Kantenlängen P/2 und T.
Mathematische Lösung des Integrals
Die Fläche unter dem Graphen von P(t) ist ein Maß für die umgesetzte Energie. Wenn wir diese Energie durch die Periodenlänge T teilen, dann erhalten wir die „durchschnittliche“ Leistung.
{\large \begin{array}{l} & E=\int\limits_{0}^{T}{P(t)\,dt} \\ & {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}{P(t)\,dt} \\ \end{array} }
Jetzt setzen wir für P(t) unser zeitabhängigen Größen U(t) und I(t) ein:
{\begin{array}{l} {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{\widehat{U}}\cdot \sin \left( \omega t \right)\cdot \,\widehat{I}\cdot \sin \left( \omega t \right)dt \\ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{\widehat{U}}\cdot \,\widehat{I}\cdot {{\left( \sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}dt \\ \end{array} }
Da die Spitzenwerte von Strom und Spannung Konstanten sind, können wir sie vor das Integral ziehen.
{ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I}\cdot \int\limits_{0}^{T}{{{\left( \sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}dt} }
Einer Tabelle zu Stammfunktionen können wir entnehmen, dass:
{\begin{array}{l} f(x)={{\sin }^{2}}(x) \\\\ F(x)=\frac{1}{2}\left[ x\,-\sin \left( x \right)\times \cos \left( x \right) \right]=\frac{1}{2}x\,-\frac{1}{4}\sin \left( 2x \right) \\ \end{array} }
Wenn wir jetzt für die Spitzenwerte von Strom und Spannung jeweils 1 als Einheit für Strom und Spannung einsetzen, dann erhalten wir auch für {\widehat{P}} eine Leistungseinheit.
{\begin{array}{l} {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I}\cdot \int\limits_{0}^{T}{{{\left( \sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}dt} \\ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I}\cdot \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}dt}=\left[ \frac{1}{2}\cdot t\,-\,\frac{1}{4}\sin (2\omega t) \right]_{0}^{1} \\\\ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I} \cdot\left[ \frac{1}{2}\cdot 1\,-\,\frac{1}{4}\sin (2\omega 1) \right]-\left[ \frac{1}{2}\cdot 0\,-\,\frac{1}{4}\sin (2\omega 0) \right] \\\\ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I} \cdot \left[ \frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\sin (2\omega ) \right]-\left[ 0\,-\,0 \right] \\\\ {{P}_{eff}}=\,\frac{1}{T}\cdot \widehat{U}\cdot \,\widehat{I}\cdot \frac{1}{2}\,-\,\frac{1} {4}\underbrace{\sin (2\pi )}_{0}=\,\frac{1}{T}\cdot \frac{1}{2} \\ \end{array} }
Peff ist also halb so groß wie PSpitze
{\large {{P}_{eff}}=\frac{\widehat{P}}{2}=\frac{\widehat{U\,}\,\cdot \,\widehat{I}}{2}=\frac{\widehat{U\,}}{\sqrt{2}}\,\cdot \,\frac{\widehat{I}}{\sqrt{2}} }
Effektivwerte der Wechselspannung und des Wechselstroms
Für die Effektivwerte einer sinusförmigen Wechselspannung gilt dann:
{\huge \begin{array}{l} & {{U}_{eff}}=\frac{\widehat{U}}{\sqrt{2}} \\\\ & {{I}_{eff}}=\frac{\widehat{I}}{\sqrt{2}} \\ \end{array} }
Experimenteller Nachweis
Für die Definition des Effektivwertes waren wir von folgender Definition ausgegangen:
Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung entspricht dem Wert der Gleichspannung U– , der eine Lampe gleich hell leuchten lässt.
Das wollen wir experimentell überprüfen. Dazu bauen wir parallel zwei Schaltungen mit jeweils zwei baugleichen Lampen auf.
In Schaltung 1 (linke Lampe) legen wir an das Lämpchen eine Gleichspannung von 12 V. In Schaltung 2 (rechte Lampe) legen wir an das Lämpchen eine Wechselspannung von 12 V. Beide Lämpchen sollten gleich hell leuchten. ►07
Wir messen jetzt an beiden Schaltungen die Spannung. Dabei müssen wir darauf achten, dass wir in Schaltung 2 auch die Betriebsart Wechselspannung wählen.
Wie schon am Netzgerät ►07 zu erkennen, beträgt die Spannung in beiden Fällen 12 V.
Jetzt ersetzen wir das Messgerät in Schaltung 2 (linke Lampe) durch einen Oszillographen und lesen den Spitzenwert der Spannung ab.
Die Messbereiche für Spannung und Zeit sind unter dem Schirm des Oszis dargestellt. Du kannst hier die Spitzenwerte messen. „div“ steht dabei für eine Kästchenlänge bzw. -Breite auf dem Bildschirm.
- Bestimme aus den Werten in ►08 oder ►10 die Spitzenwerte und die Frequenz der Spannung.
