Das Wasserstoffatom
Schlagwörter: Wasserstoffatom, Energieniveau Schema, Spektrum, Emission, Balmer Serie, Lymann Serie, Paschen Serie
- Ordnungszahl: 1
- Anzahl der Protonen: 1
- Anzahl der Neutronen: 0
- Anzahl der Elektronen: 1
Energieniveaus des Wasserstoffs
Um das Wasserstoffatom zu untersuchen, nutzen wir eine Spektralröhre. In der Röhre ►03 ist Wasserstoff eingeschlossen. An die Röhre wird eine Hochspannung angelegt. Damit werden die Wasserstoffatome angeregt. Über ein Spektroskop beobachten wir die Leuchterscheinungen.
Beobachtungen – sichtbares Spektrum - Energieniveaus
Wenn wir mit dem Spektroskop die Wasserstoff-Spektralröhre ►03/04 beobachten, dann sehen wir das Spektrum ►05. Das Wasserstoffatom liefert ein eindeutiges Spektrum. Dieses Spektrum ist so eindeutig wie ein Fingerabdruck.
Die sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffs haben die Wellenlängen
- rot: 657 nm
- blau/grün: 486 nm
- blau/violett: 436 nm
- violett 1: 410 nm
- violett 2: 397 nm
- violett 3: 389 nm
Serien des Wasserstoffatoms
In der Hülle des Wasserstoffatoms befindet sich nur ein Elektron. Damit reduzieren sich Wechselwirkungen deutlich, was die Beschreibungen und Berechnungen am Wasserstoffatom deutlich vereinfacht.
1885 fand der Schweizer Johann Jakob Balmer eine Gesetzmäßigkeit zu den mathematischen Zusammenhängen der Linien im sichtbaren Spektrum. Johannes Rydberg gelang es, diese Formel auf alle Übergänge im Wasserstoffatom zu verallgemeinern.
{\huge f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{m}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}
- f – Frequenz
- fR – Rydbergfrequenz (Konstante)
- fR = 3,28984·1015 Hz
Dabei unterscheiden wir zwischen den Sprüngen auf das Grundniveau (m=1) und die Sprünge auf höhere Niveaus (m= 2; 3; 4; 5; …)
Berechnungen
Bei einem Sprung vom 5. Energieniveau (n=5) auf das 2. Energieniveau (m=2) berechnen sich, die bei Übergang frei werdenden Frequenzen, Wellenlängen und Energien, wie folgt:
{\large\begin{array}{l}{{f}_{5-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{5}^{2}}} \right)\\{{f}_{5-2}}\,=\,3,2898\cdot {{10}^{15}}\,Hz\cdot \left( \frac{1}{4}\,-\,\frac{1}{25} \right)=6,91\cdot {{10}^{14}}\,Hz\\\lambda =\frac{c}{f}\\{{\lambda }_{5-2}}\,=\,\frac{3\cdot {{10}^{8}}\,\frac{m}{s}}{6,91\cdot {{10}^{14}}\,Hz}\,=\,\frac{3\cdot {{10}^{8}}\,m\cdot {{s}^{-1}}}{6,91\cdot {{10}^{14}}\,{{s}^{-1}}}=4,34\cdot {{10}^{-7}}m\\{{\lambda }_{5-2}}\,=\,434\,nm\end{array} }
zur Energie
Für die Energie des emittierten Lichtes gilt: E = h·f
{\large \begin{array}{l}{{E}_{5-2}}=h\cdot f\\{{E}_{5-2}}=4,136\cdot {{10}^{-15}}\,eVs\,\cdot 6,91\cdot {{10}^{14}}\,{{s}^{-1}}\\{{E}_{5-2}}=2,86\,eV\end{array}}
Übergänge auf die verschiedenen Energieniveaus
LYMANN-Serie: m=1
{\large\begin{array}{l}f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{m}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\,\,;m=1\\f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{1}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\end{array} }
BALMER-Serie: m=2
{\large\begin{array}{l}f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{m}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\,\,;m=2;\,\,n>2\\f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\end{array} }
{\begin{array}{l}{{f}_{3-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{3}^{2}}} \right)=4,57\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =657\,nm\,\,\,\,\,rot\\\\{{f}_{4-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)=6,17\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =486\,nm\,\,\,\,\,blau/gr\ddot{u}n\\\\{{f}_{5-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{5}^{2}}} \right)=6,91\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =434\,nm\,\,\,\,\,blau/violett\\\\{{f}_{6-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{6}^{2}}} \right)=7,31\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =410\,nm\,\,\,\,\,violett\\\\{{f}_{7-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{7}^{2}}} \right)=7,55\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =397\,nm\,\,\,\,\,violett\\\\{{f}_{8-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{8}^{2}}} \right)=7,71\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =389\,nm\,\,\,\,\,violett\\\\{{f}_{9-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{8}^{2}}} \right)=7,82\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =384\,nm\,\,\,\,\,violett\\\\{{f}_{10-2}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{8}^{2}}} \right)=7,90\cdot {{10}^{14}}\,Hz;\,\,\,\,\,\lambda =379\,nm\,\,\,\,\,UV\end{array} }
PASCHEN-Serie: m=3
{\large\begin{array}{l}f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{m}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\,\,;m=3;\,\,n>3\\f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{3}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\end{array} }
Wie können wir bei der Lösung der Aufgabe möglichst effektiv vorgehen?
Die Übergänge auf das Grundniveau sind die energetisch größten Übergänge. Sie liegen im UV-Bereich.
Der energetisch kleinste Übergang auf das Grundniveau erfolgt von m=2 auf n=1.
Sprünge auf höhere Niveaus sind energieärmer. Der energetisch höchste Übergang oberhalb der Balmer-Serie ist der Übergang auf m=3. Um hier die größtmögliche Energiedifferenz zu erhalten, können wir für n=∞ einsetzen. Dieser Übergang liefert die größte mögliche Energie / Frequenz bzw. die kleinste Wellenlänge oberhalb der Balmer-Serie. Diese Überlegungen sollten bei der Lösung der Aufgabe helfen.
Berechnung der Energieniveaus
Mit der Formel { f\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{m}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)} können wir alle Frequenzen berechnen, die bei den Übergängen zwischen den Energieniveaus emittiert werden. Aus den Frequenzen können wir die Energie der Übergänge berechnen.
E=h·f
Das Grundniveau definieren wir mit 0 eV. Wir wissen, dass n das jeweilige Energieniveau angibt, von dem der Sprung erfolgt. n kann dabei alle natürlichen Zahlen (n>m) annehmen. Wenn wir m gegen Unendlich streben lassen, dann können wir den größten Energiesprung berechnen.
{ {{f}_{\infty \to 1}}\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}\,-\,\frac{1}{{{\infty }^{2}}} \right)\,=\,{{f}_{R}}\cdot \left( \frac{1}{1}\,-\,0 \right)={{f}_{R}}\,=\,3,2898\cdot {{10}^{15}}\,Hz}
Die berechnete Frequenz setzen wir in die Formel E=h·f ein.
{\large\begin{array}{l}E\,=\,h\,\cdot \,f\\{{E}_{\infty }}\,=\,4,136\cdot {{10}^{-15}}\,eVs\,\cdot \,3,2898\cdot {{10}^{15}}\,{{s}^{-1}}\\{{E}_{\infty }}\,=\,13,607\,eV\end{array} }
Das ist die höchste Energie, die ein Elektron aus der Hülle des Wasserstoffatoms emittieren kann. Diese Energie entspricht gleichzeitig der Ionisationsenergie des Wasserstoffs.
Die weiteren Energieniveaus lassen sich in gleicher Weise berechnen.
Isotope des Wasserstoffatoms
Das oben beschriebene Wasserstoffatom (im Kern ein Proton) ist das am häufigsten auftretende Wasserstoffatom. 99,985 % der Wasserstoffatome entsprechen diesem Aufbau. Es gibt aber noch zwei weitere Isotope des Wasserstoffs.
Deuterium ist ein Isotop des Wasserstoffs. Im Kern befinden sich ein Proton und ein Neutron.
Tritium ist ein Isotop des Wasserstoffs. Im Kern befinden sich ein Proton und zwei Neutronen.