MAXWELL Gleichungen
Maxwell Gleichung, Gleichungen, Elektromagnetismus, elektromagnetische Wellen
James Clerc Maxwell (1831-1879) begründete die vollständige Theorie der elektromagnetischen Vorgänge. Maxwell sagte die Existenz von Radiowellen voraus, bevor sie entdeckt waren. Er stellte fest, das Licht eine elektromagnetische Welle ist.
Zur Beschreibung der elektromagnetischen Wellen benötigt man vier Grundgrößen:
- elektrische Ladungsdichte σ
- elektrische Stromdichte j
- elektrische Feldstärke E
- magnetische Induktion B
Diese vier Grundgrößen sind durch die Maxwell-Gleichungen verknüpft.
Hinweis: Einige der folgenden mathematischen Operationen liegen jenseits des Schulstoffs. Sie sind weiter unten erläutert. Aber auch ohne diese Gleichungen zu berechnen, können sie über die Eigenschaften der Operationen ansatzweise verstanden werden.
Die MAXWELL Gleichungen
{\large \displaystyle \left( 1 \right)\,\,\,\,rot\,\vec{B}\,\,=\,{{\mu }_{0}}\vec{j}\,+\,{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\,\frac{\delta \vec{E}}{\delta t} }
Ein magnetisches Wirbelfeld entsteht durch einen stationären Strom (erster Summand der Gleichung) oder durch ein elektrisches Wechselfeld (zweiter Summand der Gleichung)
{\large\left( 2 \right)\,\,rot\,\vec{E}\,\,=\,\,-\,\frac{\delta \vec{B}}{\delta t} }
Ein elektrisches Wirbelfeld entsteht durch ein magnetisches Wechselfeld.
{\large \left( 3 \right)\,\,div\,\vec{E}\,\,=\,\,\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\,\sigma }
Ein elektrisches Quellenfeld entsteht durch Ladungen (σ = Ladungsdichte). Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes. Bei den Ladungen beginnen oder enden die elektrischen Feldlinien.
{\large \left( 4 \right)\,\,div\,\,\vec{B}\,\,=\,\,0 }
Das Magnetfeld ist quellenfrei, bzw. es gibt keine magnetischen Monopole.
Mathematische Hilfsmittel zu den MAXWELL Gleichungen
Operator “rot” - Rotation
- (x, y, z) kartesische Koordinaten,
- ex, ey, ez normierte Basisvektoren
- kann als Wirbeldichte aufgefasst werden
{\large\displaystyle rot\,B\,(x,y,z)\,=\,\left( \frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial y}\,-\,\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial z} \right){{e}_{x}}\,\,+\,\left( \frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial z}\,-\,\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x} \right){{e}_{y}}\,+\,\,\left( \frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}\,-\,\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial y} \right){{e}_{z}} }
Operator “div” – Divergenz
- Divergenz eines Vektorfeldes – Summe der i-ten Richtungsableitungen
- Quelle – divergenz positiv; Senke – divergenz negativ
{\large\displaystyle div\,\overrightarrow{E}\,=\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{n}{\frac{\partial {{E}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}} }
Experimentelle Bestätigung der MAXWELL Gleichungen
Neun Jahre nach Maxwells Tod gelang es Heinrich HERTZ, erstmals elektromagnetische Wellen zu erzeugen und diese zu übertragen. Die Vorhersagen von MAXWELL zu elektromagnetischen Wellen beruhten ausschließlich auf theoretischen mathematischen Überlegungen und zeugen von der Genialität MAXWELLS.
Folgerungen aus den Maxwell Gleichungen – Lichtgeschwindigkeit
Mit Hilfe der MAXWELL Gleichungen war es möglich, auch die Ausbreitungsgeschwindigkeiten elektromagnetischer Wellen zu berechnen und vorherzusagen.
Elektromagnetische Welle im Vakuum breitet sich mit der Geschwindigkeit (s. Gleichung) aus.
{\huge\displaystyle c\,=\,\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}\,{{\mu }_{0}}\,}} }
Berechnung zur Vakuumlichtgeschwindigkeit
{\large\displaystyle \begin{array}{l}c\,=\,\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}\,{{\mu }_{0}}\,}}\\\\c\,=\,\frac{1}{\sqrt{8,854\,188\,\cdot {{10}^{-12}}\,\frac{As}{Vm}\,\,\cdot \,\,1,256\,637\,\cdot {{10}^{-6}}\,\frac{Vs}{Am}\,\,\,}}\\\\c\,=\,\frac{1}{\sqrt{8,854\,188\,\cdot {{10}^{-12}}\,\cdot \,1,256\,637\,\cdot {{10}^{-6}}\,\frac{{{s}^{2}}}{{{m}^{2}}}\,\,\,}}\\\\c=299.792.462\,\frac{m}{s}\,\,\approx 3\,\cdot {{10}^{8}}\,\frac{m}{s}\end{array} }
Wir sehen, dass die theoretisch berechnete Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (c≈3/108 m/s) mit unseren Kenntnissen übereinstimmt. Damit gelang MAXWELL nicht nur die Vorhersage elektromagnetischer Wellen, er konnte sogar ihre Geschwindigkeit vorhersagen.
Lichtgeschwindigkeit in Medien
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in Medien gilt:
{\large\displaystyle c\,=\,\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}\,{{\mu }_{0}}\,{{\varepsilon }_{r}}\,{{\mu }_{r}}\,\,}} }
Dabei ist zu beachten, dass εr und µr nicht nur vom Material, sondern auch von der Frequenz abhängig sind.
Die Frequenzabhängigkeit der relativen Permittivität wird hier näher erläutert. Das liegt aber deutlich jenseits des Abiturstoffs.
Wer tiefer in die Thematik einsteigen möchte, findet hier einen Buchauszug zu den MAXWELL Gleichungen mit umfassenden mathematschen Erläuterungen.