Der DOPPLEReffekt
Dopplereffekt, Ton, Doppler Effekt, Rotverschiebung, Blauverschiebung, Frequenz, Wellenlänge, Tonhöhe, Geschwindigkeit
Wir kennen alle das Geräusch eines vorbeifahrenden Autos. Wenn wir z.B. an einem Autobahnparkplatz stehen und die Fahrzeuge vorbeifahren, dann hören wir einen Ton, der erst höher und dann tiefer wird. Wie können wir das erklären?
Die Erklärung liefert der nach Christian Doppler benannte Dopplereffekt. Dabei unterscheiden wir verschiedene Fälle:
- Wellen breiten sich an ein Medium gebunden aus (z.B. Schall)
- Wellen breiten sich ohne Medium aus (z.B. Licht)
1. Dopplereffekt in einem Medium
Bewegte Quelle / ruhender Beobachter
Als erstes betrachten wir den Fall, dass sich eine Schallquelle bewegt. Hier werden wir einen Krankenwagen wählen, den wir vom Straßenrand aus beobachten.
Solange sich der Krankenwagen und der Beobachter nicht bewegen, können wir an allen Seiten den gleichen Ton wahrnehmen. ► 02
Bewegung der Quelle in Richtung des Beobachters
Wenn sich der Krankenwagen auf den Beobachter zu bewegt, dann hören wir einen höheren Ton.
Da sich die Quelle in Richtung des Beobachters bewegt, verkürzen sich die Wellenlängen. ► 03 / 04 / 05
Die Wellenlängen λEmpf (in der Skizze λ1) verkürzen sich um die Länge Δx. Das Fahrzeug bewegt sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit v. Es legt also in der Zeit t die Strecke sQuelle =v·t zurück. Der Schall legt in der gleichen Zeit die Strecke sSchall=c·t zurück. Der Abstand zwischen zwei Wellenmomenten gleicher Phase verkürzt sich um die Strecke, die die Quelle zurücklegt. T0 ist die Periodendauer.
{ \large \left. \begin{array}{l}{{\lambda }_{Empf}}={{\lambda }_{0}}-\Delta \lambda \\\\\left. \begin{array}{l}{{\lambda }_{0}}\,=\,\frac{c}{f}\\{{T}_{0}}\,=\,\frac{1}{f}\end{array} \right\}\,\,\,\,{{\lambda }_{0}}\,=c\cdot T\\\\\Delta \lambda \,=\,{{\lambda }_{0}}\,-\,{{\lambda }_{Empf}}\\\Delta \lambda \,=\,v\cdot T\end{array} \right\}\,\,\huge {{\lambda }_{Empf}}\,={{\lambda }_{0}}-v\cdot T }
Damit ergibt sich für die Wellenlänge beim Beobachter:
{ \large \begin{array}{l}{{\lambda }_{Empf}}\,={{\lambda }_{0}}-v\cdot T\\{{\lambda }_{Empf}}\,=\frac{c}{{{f}_{0}}}\,-\,\frac{v}{{{f}_{0}}}\,\,=\,\frac{c-v}{{{f}_{0}}}\end{array} }
Veränderung der wahrgenommenen Frequenz
Mit der verkürzten Wellenlänge, nimmt auch der Beobachter einen anderen Ton wahr.
{ \large\left. \begin{array}{l}{{f}_{Empf}}\,\,=\frac{c}{{{\lambda }_{Empf}}}\,\\{{\lambda }_{Empf}}\,=\frac{c-v}{{{f}_{0}}}\end{array} \right\}\,\,{{f}_{Empf}}\,\,=\frac{c}{\frac{c-v}{{{f}_{0}}}}=\frac{c\cdot {{f}_{0}}}{c-v} }
Wenn wir die Schallgeschwindigkeit c ausklammern, dann erhalten wir:
{ \large {{f}_{Empf}}\,\,=\frac{c\cdot {{f}_{0}}}{c-v}=\frac{c\cdot {{f}_{0}}}{c\left( 1-\frac{v}{c} \right)}=\frac{{{f}_{0}}}{1-\frac{v}{c}}\,\,\,\,\,\,(c>v) }
An der Gleichung erkennen wir, dass diese nur für Geschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit sinnvoll ist (c>v).
Bewegung der Quelle vom Beobachter weg
Wie schon im ersten Fall, können wir in der Grafik ►06 erkennen, dass sich die Wellenlänge beim Beobachter ändert. In diesem Fall wird die Wellenlänge größer.
Wir müssen das Δl also addieren.
(vgl. ►05 – λ2)
Damit ergibt sich für die Wellenlänge beim Beobachter:
{ \large \begin{array}{l}{{\lambda }_{Empf}}\,={{\lambda }_{0}}+v\cdot T\\{{\lambda }_{Empf}}\,=\frac{c}{{{f}_{0}}}\,+\,\frac{v}{{{f}_{0}}}\,\,=\,\frac{c+v}{{{f}_{0}}}\end{array} }
… und für die beim Beobachter wahrgenommene Frequenz:
{ \large {{f}_{Empf}}\,\,=\frac{c\cdot {{f}_{0}}}{c+v}=\frac{c\cdot {{f}_{0}}}{c\left( 1+\frac{v}{c} \right)}=\frac{{{f}_{0}}}{1+\frac{v}{c}}\,\,\,\,\,\,(c>v) }
Allgemeine Form des Dopplereffekt bei der Ausbreitung von Schall
GeoGebra – Animation zum Dopplereffekt
Die folgende Animation zeigt die Bewegung des Krankenwagens.
Die Angaben für die Geschwindigkeit des Krankenwagens v und die Schallgeschwindigkeit c erfolgen Dimensionslos in der Einheit G.E. Um den Dopplereffekt hier besser beobachten zu können, sind die Geschwindigkeiten unrealistisch groß gewählt. (ca. 30% bis 60% der Schallgeschwindigkeit)
Die Geschwindigkeit kann hier auch größer als Schallgeschwindigkeit gewählt werden. Dann kann der MACHsche Kegel mit eingeblendet werden.
Zusammenfassung zum Dopplereffekt - Bewegte Quelle, ruhender Empfänger
Quelle bewegt sich auf Empfänger zu
{ \large {{f}_{Empf}}\,\,=\frac{{{f}_{0}}}{1-\frac{v}{c}} }
Der wahrgenommene Ton wird höher.
Quelle bewegt sich vom Empfänger weg
{ \large {{f}_{Empf}}\,\,=\frac{{{f}_{0}}}{1+\frac{v}{c}} }
Der wahrgenommene Ton wird tiefer.
Bewegter Beobachter, ruhende Quelle
Wenn die Quelle bzw. der Sender ruht und sich der Empfänger auf die Quelle zu bewegt, dann erhöht sich die Geschwindigkeit, mit der die eintreffenden Wellen registriert werden. Es ändert sich in diesem Fall die Frequenz.
vneu = c + vEmpf
Analog verringert sich die Geschwindigkeit, wenn sich der Empfänger von der Quelle wegbewegt.
vneu = c – vEmpf
Empfänger bewegt sich auf Quelle zu
{ \large \begin{array}{l}{{f}_{Empf}}\,=\,\frac{{{v}_{neu}}}{\lambda }\,=\,\frac{c\,+\,{{v}_{Empf}}}{\lambda }\,=\,\frac{c\,+\,{{v}_{Empf}}}{\frac{c}{{{f}_{0}}}}\\\\{{f}_{Empf}}\,=\,{{f}_{0}}\,\cdot \,\frac{c\,+\,{{v}_{Empf}}}{c}\\\\{{f}_{Empf}}\,=\,{{f}_{0}}\,\cdot \,\left( 1+\frac{{{v}_{Empf}}}{c} \right)\end{array} }
Der wahrgenommene Ton wird höher.
Empfänger bewegt sich von Quelle weg
{ \large \begin{array}{l}{{f}_{Empf}}\,=\,\frac{{{v}_{neu}}}{\lambda }\,=\,\frac{c\,-\,{{v}_{Empf}}}{\lambda }\,=\,\frac{c\,-\,{{v}_{Empf}}}{\frac{c}{{{f}_{0}}}}\\\\{{f}_{Empf}}\,=\,{{f}_{0}}\,\cdot \,\frac{c\,-\,{{v}_{Empf}}}{c}\\\\{{f}_{Empf}}\,\,={{f}_{0}}\,\cdot \,\left( 1-\frac{{{v}_{Empf}}}{c} \right)\end{array} }
Der wahrgenommene Ton wird tiefer.
Bewegungen mit Schallgeschwindigkeit
Je schneller sich die Schallquelle bewegt, desto kleiner wird die Wellenlänge für den Beobachter in Bewegungsrichtung. ► 08a
Wenn sich der Sender (hier der Jet) mit Schallgeschwindigkeit bewegt, dann bewegt sich die Quelle genauso schnell, wie sich die Wellen ausbreiten. Es treffen alle Wellenmomente gleicher Phase aufeinander und verstärken sich. ► 08b
Dabei kommt es zu sehr großen Schwankungen des Luftdrucks. Diese werden dann als Knall, dem Überschallknall hörbar.
Der MACHsche Kegel
Wenn sich das Flugzeug mit Überschallgeschwindigkeit bewegt, dann baut sich ein MACHscher Kegel auf ►09. Die Luft verdichtet sich an den Kanten des Flugzeugs.
Der Öffnungswinkel des MACHschen Kegels hängt von der Geschwindigkeit des Flugzeugs ab.
Für den halben Öffnungswinkel α, also den Halbwinkel des Kegels, gilt:
{ \large \sin \,\alpha =\,\frac{Weg\,\,\,der\,\,\,Schallwelle}{Weg\,\,\,des\,\,\,Flugzeugs}\,\,=\,\,\frac{c\,\cdot \,t}{v\,\cdot \,t}\,\,=\,\,\frac{c}{v} }
Im Netz gibt es diverse Fotos von Flugzeugen, die das Durchbrechen der Schallmauer zeigen sollen. ►10
Die Bilder sind unbestritten faszinierend. Aber wie entsteht diese „Wolke“ am Flugzeug?
Die Bilder ►08 – 09 zeigen, wie sich die Luftschichten vor dem Flugzeug mit zunehmender Geschwindigkeit verdichten. In der Luft befindet sich bei niedrigen Temperaturen Wasserdampf, der aufgrund des geringen Drucks nicht kondensiert. Wenn die Luft vor dem Flugzeug komprimiert wird, dann erhöht sich auch der Druck. In Abhängigkeit von der Sättigung der Luft mit Wasserdampf, kann dieser ab einem bestimmten Druck kondensieren. (vgl. Kondensstreifen bei Flugzeugen)
Wellen breiten sich ohne Medium aus – optischer Dopplereffekt
Im Unterschied zum akustischen Dopplereffekt, ist Licht bei seiner Ausbreitung an kein Medium gebunden. Damit sind Sender und Empfänger die einzigen Bezugsgrößen. Hier ist nur die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger von Interesse.
Da für hohe Geschwindigkeiten relativistische Effekte berücksichtigt werden müssen, passen sich die Gleichungen zur Berechnung entsprechend an.
Sender und Empfänger nähern sich an
… für Frequenzen
{ \large {{f}_{Empf}}=\,{{f}_{0}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} }
… für Wellenlängen
{\large {{\lambda }_{Empf}}\,\,=\,\,{{\lambda }_{0}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1\,-\,\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}}
{ \large \begin{array}{l}f=\frac{c}{\lambda }\\\frac{c}{{{\lambda }_{Empf}}}\,\,=\,\,\frac{c}{{{\lambda }_{0}}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1\,+\,\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}\,\,\,\,\,\,\,\left| Kehrwert \right.\\\\\frac{{{\lambda }_{Empf}}}{c}\,\,=\,\,\frac{{{\lambda }_{0}}}{c}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1\,-\,\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\\\\{{\lambda }_{Empf}}\,\,=\,\,{{\lambda }_{0}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1\,-\,\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\end{array} }
Wenn sich Sender und Empfänger annähern, dann werden die vom Empfänger registrierten Wellenlängen kleiner, bzw. die Frequenz wird größer. Sichtbares Licht wird in Richtung Violett verschoben. Man spricht auch von einer Blauverschiebung. ♦12
Sender und Empfänger entfernen sich voneinander
… für Frequenzen
{ \large {{f}_{Empf}}=\,{{f}_{0}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} }
… für Wellenlängen
{\large {{\lambda }_{Empf}}\,\,=\,\,{{\lambda }_{0}}\,\cdot \,\sqrt{\frac{1\,+\,\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}}
Wenn sich Sender und Empfänger voneinander entfernen, dann werden die vom Empfänger registrierten Wellenlängen größer, bzw. die Frequenz wird kleiner. Sichtbares Licht wird in Richtung Rot verschoben. Man spricht auch von einer Rotverschiebung. ♦11
Der optische DOPPLEReffekt – Beobachtungen
Den optischen Dopplereffekt können wir im Alltag kaum beobachten, da die Geschwindigkeiten, mit denen wir uns bewegen, zu klein sind. Aber bei der Beobachtung von Sternen ist diese Beobachtung möglich.
Wenn sich ein Stern hinreichend schnell von uns weg bewegt, dann müssten wir eine Rotverschiebung beobachten können. Aber was ist unsere Referenzgröße für die zugehörigen Frequenzen bzw. Wellenlängen?
Spektren der Sterne
Jeder Stoff hat ein charakteristisches Spektrum. Hier können wir das am Beispiel des Natriums betrachten.
Natrium hat ein unverwechselbares Spektrum mit zwei dicht beieinander liegenden Spektrallinien (D1: 589,59 nm und D2: 588,00 nm)
Emissionsspekten von Natrium – Verschiebung der Na-Doppellinie
Die folgenden Abbildungen zeigen den optischen Dopplereffekt am Beispiel der Na-Spektrallinien von einem Stern der
- sich entfernt
- konstante Entfernung hat
- sich annähert
Spektren in der Praxis
In der Realität liefern die Sterne Absorptionsspektren (vgl. Frauenhoferlinien). Diese entstehen durch Resonanzabsorption.
