von der mittleren Änderung zur lokalen Änderung bzw. vom Differenzen- zum Differentialquotient

mittleren Änderung, lokalen Änderung, Differenzenquotient Differentialquotient

Gegeben sei die Funktion:

{ \large f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,{{x}^{2}}\,+\frac{1}{2}}

Wir suchen die Steigung des Graphen an der Stelle x0 =1, also im Punkt P.

Bisher haben wir uns einen zweiten Punkt Q gesucht und diesen längs des Graphen, dichter an den Punkt P verschoben.

Die gleiche Strategie hatten wir bereits bei der Untersuchung von Änderungen verfolgt.

Die Messpunkte für den „Blitzer“ müssen so dicht beieinander liegen, dass das Fahrzeug in diesem Bereich die Geschwindigkeit quasi nicht ändern kann.

Wie dicht ist dicht genug?

{\large Steigung\,\,der\,\,Sekante\,\,an\,\,der\,\,Stelle\,\,{x}_{0}:\,\,\,\,m=\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}}

In der nebenstehenden Animation können wir erkennen, dass die Steigung der Sekante für kleiner werdende Werte von h, sich immer weiter der Steigung der Tangente annähert. Das gilt bei der Annährung von beiden Seiten.

Ziel ist es also, h gegen 0 streben zu lassen.

Das können wir in einer Tabellenkalkulation wie EXCEL simulieren.

Die Tabelle zeigt die Annährung h→0 von rechts und von links.

Die Steigung der Sekante fällt von rechts (h>0) und steigt von links (h<0).

Die Werte lassen vermuten, dass die Steigung der Tangente m=1 betragen wird.

Syntax für Zelle C7:

=((0,5*($E$4+B7)^2+0,5)-(0,5*$E$4^2+0,5))/B7

Wenn h gegen einen bestimmten Wert strebt, wir also einen Grenzwert suchen, dann benutzen wir in der Mathematik die folgende Schreibweise:

Die Schreibweise {\large \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,…} meint, dass h gegen den Wert 0 strebt, bzw. h nähert sich beliebig nah der 0 an.

Sprich: “Der Limes für h gegen Null von …

Der Begriff “Limes ist euch ggf. schon aus dem Geschichtsunterricht (Befestigungs- und Grenzanlage des Römischen Reiches) bekannt. 

Steigung der Tangente an der Stelle x0 = 1:

{\large m=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}

mathematische Betrachtung des Grenzwertes

{ \large f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,{{x}^{2}}\,+\frac{1}{2}}

{\large \begin{array}{l}m=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\overbrace{\frac{1}{2}\cdot {{\left( 1+h \right)}^{2}}\,+\frac{1}{2}\,}^{f({{x}_{0}}+h)}-\,\overbrace{\left( \frac{1}{2}\,\cdot {{1}^{2}}\,+\frac{1}{2} \right)}^{f({{x}_{0}})}}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\overbrace{0,5\cdot \left( 1+2h+{{h}^{2}} \right)+0,5}^{f({{x}_{0}}+h)}-\overbrace{1}^{f({{x}_{0}})}}{h}\\\\Klammer\,\,aufl\ddot{o}sen\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{0,5+h+\frac{{{h}^{2}}}{2}-0,5}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{h+\frac{{{h}^{2}}}{2}}{h}\\\\h\,\,ausklammern\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{h\,\cdot \left( 1+\frac{h}{2} \right)}{h}\,\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\left( 1+\frac{h}{2} \right)\\\\Wenn\,\,h\,\,gegen\,\,0\,\,strebt,\,\,dann\,\,strebt\,\,\frac{h}{2}\,\to \,0\\\\\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\left( 1+\frac{h}{2} \right)\,=\,1\end{array} }

Die Funktion { \large f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,{{x}^{2}}\,+\frac{1}{2}} hat an der Stelle x0=1 die Steigung 1

vom Differenzen- zum Differentialquotient

Differenzenquotient

  • gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x0/f(x0))  und Q(x0+h/f(x0+h)) an 

 

  •  {\large \displaystyle\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}}

Differentialquotient

  • gibt die Steigung  der Tangente an der Stelle x0 an (im Punkt P(x0/f(x0))
  • ist der Grenzwert des Differenzenquotienten
  • {\large \displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}}
  • Dieser Grenzwert wird mit f(x0) bezeichnet und Ableitung von f an der Stelle x0 genannt.

weitere Beispiele für Grenzwerte von f an der Stelle x0:

zur Ableitung von Funktionen