Ableitung an einer Stelle
lokalen Änderung, Ableitung Stelle, Differentialquotient, Grenzwert Differenzenquotient Limes h gegen 0
Gegeben sei die Funktion f(x) = x3. Wir wollen die Steigung der Funktion an den Stellen 1 und 2 untersuchen.
Wir wissen bereits, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten von f für h → 0, als Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnet wird.
Es gilt also:
{ \large f’\left( {{x}_{0}} \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h} }
Beispiel 1: x0 =1
Einsetzen von x0
{ \large f’\left( 1 \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( 1+h \right)-f\left( 1 \right)}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{\left( 1+h \right)}^{3}}\,-{{1}^{3}}}{h}}
Das Binom (1+h)3 kann aufwendig ausmultipliziert werden, oder mithilfe des PASCALschen Dreiecks aufgelöst werden.
(1+h)3 = 13 + 3 ·12·h+ 3·1·h2 + h3 = 1 + 3h + 3h2 + h3
Einsetzen in die Gleichung
h ausklammern und kürzen
Wenn h gegen Null strebt, dann streben auch 3h und h2 gehen Null.
Die Ableitung der Funktion f(x) = x3 an der Stelle x0=1 ist 3.
Beispiel 2
- x0 = 2
Einsetzen von x0
{ \large f’\left( 2 \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{\left( 2+h \right)}^{3}}\,-{{2}^{3}}}{h}}
Das Binom (2+h)3 kann aufwendig ausmultipliziert werden, oder mithilfe des PASCALschen Dreiecks aufgelöst werden.
(2+h)3 = 23 + 3 ·22· h+ 3 ·2 ·h2 + h3 = 8 + 12h + 6h2 + h3
Einsetzen in die Gleichung
h ausklammern und kürzen
Wenn h gegen Null strebt, dann streben auch 3h und h2 gehen Null.
Die Ableitung der Funktion f(x) = x3 an der Stelle x0=2 ist 12.