Ableitung an einer Stelle

 lokalen Änderung, Ableitung Stelle, Differentialquotient, Grenzwert Differenzenquotient Limes h gegen 0

Gegeben sei die Funktion f(x) = x3. Wir wollen die Steigung der Funktion an den Stellen 1 und 2 untersuchen.

Wir wissen bereits, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten von f  für h → 0, als Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnet wird.

Es gilt also:

{ \large f'\left( {{x}_{0}} \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h} }

Beispiel 1:  x0 =1

Einsetzen von x0

{ \large f'\left( 1 \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( 1+h \right)-f\left( 1 \right)}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{\left( 1+h \right)}^{3}}\,-{{1}^{3}}}{h}}

Das Binom (1+h)3 kann aufwendig ausmultipliziert werden, oder mithilfe des PASCALschen Dreiecks aufgelöst werden.

(1+h)3 = 13 + 3 ·12·h+ 3·1·h2 + h3 = 1 + 3h + 3h2 + h3

Einsetzen in die Gleichung

h ausklammern und kürzen

Wenn h gegen Null strebt, dann streben auch 3h und h2 gehen Null.

Die Ableitung der Funktion f(x) = x3 an der Stelle x0=1 ist 3.

Beispiel 2

  1. x0 = 2

Einsetzen von x0

{ \large f'\left( 2 \right)=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{f\left( 2+h \right)-f\left( 2 \right)}{h}\,=\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{\left( 2+h \right)}^{3}}\,-{{2}^{3}}}{h}}

Das Binom (2+h)3 kann aufwendig ausmultipliziert werden, oder mithilfe des PASCALschen Dreiecks aufgelöst werden.

(2+h)3 = 23 + 3 ·22· h+ 3 ·2 ·h2 + h3 = 8 + 12h + 6h2 + h3

Einsetzen in die Gleichung

h ausklammern und kürzen

Wenn h gegen Null strebt, dann streben auch 3h und h2 gehen Null.

Die Ableitung der Funktion f(x) = x3 an der Stelle x0=2 ist 12.