binomische Formeln und das PASCALsche Dreieck

binomisch Formeln, Pascalsches Dreieck 

Seit der Mittelstufe kennst du die binomischen Formeln. Dabei beschränkten sich die Untersuchungen weitgehend auf die 3 Formeln

  1. (a+b)2             = a2+ 2ab + b2
  2. (a-b)2             = a2– 2ab + b2
  3. (a+b) · (a-b)  = a2 – b2

Wie können wir die Formeln auflösen, wenn die Exponenten höher werden. Für den Exponenten 3, also (a+b)3 können wir das noch händisch ausmultiplizieren. Je größer die Exponenten werden, desto größer wird auch der rechnerische Aufwand.

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1a + 1b

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + c3

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5 ab4 + b5

(a+b)6 =a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

(a+b)7 = …

(a+b)8 = …

Mit Hilfe des PASCALschen Dreiecks lassen sich die binomischen Formeln sehr einfach und komfortabel ausmultiplizieren.

Wir betrachten die Formel: (a+b)n 

Wir beginnen jeweils bei a. a erhält den Exponenten an der Formel, hier also an. Den Vorfaktor 1 können wir dem PASCALschen Dreieck entnehmen. Die Summe der Exponenten von a und b ergibt jeweils n.

(a+b)n = 1·an + _·an-1b1 + _·an-2b2 + ……. + _ ·a1bn-1 + 1·bn

Der Tiefstrich “_” steht jeweils für den Vorfaktor, der dem PASCALschen Dreieck entnommen werden kann. 

PASCALsches Dreieck

Im PASCALsche Dreieck werden Zahlen in einer Dreiecksform so angeordnet, dass:

  • jeweils die darunter stehende Zeile ein Element mehr enthält
  • die beiden Außenschenkel werden mit Einsen aufgefüllt
  • die darunter stehende Zahl ergibt sich jeweils aus der Summe der beiden Zahlen darüber
PASCALsches Dreieck bis n=10

Der folgenden Abbildung kann die Zuordnung der einzelnen Vorfaktoren entnommen werden. Hier wird deutlich, wie diese leicht über das PASCALsche Dreieck gefunden werden können.