binomische Formeln und das PASCALsche Dreieck

binomisch Formeln, Pascalsches Dreieck 

Seit der Mittelstufe kennst du die binomischen Formeln. Dabei beschränkten sich die Untersuchungen weitgehend auf die 3 Formeln

  1. (a+b)2             = a2+ 2ab + b2
  2. (a-b)2             = a2– 2ab + b2
  3. (a+b) · (a-b)  = a2 – b2

Wie können wir die Formeln auflösen, wenn die Exponenten höher werden. Für den Exponenten 3, also (a+b)3 können wir das noch händisch ausmultiplizieren. Je größer die Exponenten werden, desto größer wird auch der rechnerische Aufwand.

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1a + 1b

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + c3

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5 ab4 + b5

(a+b)6 =a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

(a+b)7 = …

(a+b)8 = …

Mit Hilfe des PASCALschen Dreiecks lassen sich die binomischen Formeln sehr einfach und komfortabel ausmultiplizieren.

Wir betrachten die Formel: (a+b)n 

Wir beginnen jeweils bei a. a erhält den Exponenten an der Formel, hier also an. Den Vorfaktor 1 können wir dem PASCALschen Dreieck entnehmen. Die Summe der Exponenten von a und b ergibt jeweils n.

(a+b)n = 1·an + _·an-1b1 + _·an-2b2 + ……. + _ ·a1bn-1 + 1·bn

Der Tiefstrich “_” steht jeweils für den Vorfaktor, der dem PASCALschen Dreieck entnommen werden kann. 

PASCALsches Dreieck

Im PASCALsche Dreieck werden Zahlen in einer Dreiecksform so angeordnet, dass:

  • jeweils die darunter stehende Zeile ein Element mehr enthält
  • die beiden Außenschenkel werden mit Einsen aufgefüllt
  • die darunter stehende Zahl ergibt sich jeweils aus der Summe der beiden Zahlen darüber
PASCALsches Dreieck bis n=10

Der folgenden Abbildung kann die Zuordnung der einzelnen Vorfaktoren entnommen werden. Hier wird deutlich, wie diese leicht über das PASCALsche Dreieck gefunden werden können.

Was, du kannst dir die Formel nicht merken? Drucke sie doch einfach auf deine Tasse und so ist sie stets präsent. Die passende Fototasse kannst du bei Print Planet bestellen und mit den binomischen Formeln, den Maxwell-Gleichungen, den Strahlensätzen, der pq-Formel, oder … bedrucken lassen.