Ableitungsregel Potenzfunktion

 Ableitung Stelle, Differentialquotient, Ableitungsfunktion, Steigung  

Bis jetzt haben wir die Steigung an einer Stelle stets neu mit dem Differentialquotienten berechnet. Gibt es auch die Möglichkeit, eine Funktion zu finden, die jedem x-Wert die Steigung an dieser Stelle zuordnet?

Dazu setzen wir statt einer konkreten Stelle x0 jetzt x ein.

f(x) = x2 und x0 = x

Die Ableitung f‘ der Funktion f(x)=x2 ist:

f ‚(x) = 2x

f(x) = x3 und x0 = x

Die Ableitung f‘ der Funktion f(x)=x3 ist:

f ‚(x) = 3x2

Wenn wir die Reihe für xn fortsetzen, dann erhalten wir:

  • f(x) = x4 und x0 = x; f‘(x) = 4x3
  • f(x) = x5 und x0 = x; f‘(x) = 5x4
  • f(x) = x6 und x0 = x; f‘(x) = 6x5

Unter Verzicht auf einen Beweis, können wir die Regel hier erkennen:

Potenzregel

Genügt die Funktion f(x) der Form  f(x) = xn,

dann gilt für die Ableitung der Funktion f‘(x) = n·xn-1

Ableitung – anschaulich

Die folgende GeoGebra-Animation zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Mit dem Schieberegler x0 kann die Position des Punktes P auf dem Graphen von f verschoben werden.

Auf der folgenden Seite findet ihr eine kompakte Übersicht zu den Ableitungsregeln. Neben einer Übersicht zu den Regeln mit mehreren Beispielen und einem Video Tutorial, findet ihr auch Kontrollaufgaben. Die Aufgaben sind im Multiple-Choice Verfahren gestellt und progressiv aufgebaut.

Potenz-, Faktor- und Summenregel

  • Potenzregel

{\large f(x)\,=\,{{x}^{n}}…………………f'(x)\,=\,n\cdot {{x}^{n-1}}}

  • Faktorregel

{\large f(x)\,=\,c\cdot g(x)…………….f'(x)\,=\,c\cdot g'(x)}

  • Summenregel

{\large f(x)\,=g(x)\,+h(x)…………f'(x)\,=\,g'(x)\,+\,h'(x)}