Untersuchung von Änderungen
Einführung in die Analysis, vom Bestand zur Änderung, Differentialrechnung
Häufig kommt es vor, dass weniger die Messwerte zu einem bestimmten Zeitpunkt oder an einem Ort von Interesse sind, sondern die Veränderungen der Werte benötigt werden. Um die Im Folgenden sollen die Änderungen von Funktions- bzw. Messwerten untersucht werden.
Die Orte Adorf und Bedorf sind auf der Karte 10 km voneinander entfernt. Dabei liegt Bedorf 300 m höher als Adorf.
Wenn wir die Gesamtstrecke (10 km) und die Höhendifferenz (300 m) betrachten, dann ergibt sich eine Steigung von:
3 % bzw. 1,7°
Die Steigung von 3 % bzw. 1,7° ist mit dem Fahrrad sicher gut zu bewältigen. Aber gibt diese Steigung die Anforderung der Strecke wieder?
Auf den ersten 2 km verläuft die Strecke relativ flach, während sie zwischen den Kilometern 5 und 7 deutlich steiler verläuft. Wie können wir die Steigung hier berechnen?
- Höhe bei 5 km
- Höhe bei 7 km
- Different der Streckenabschnitte: 2 km
- Differenz der Höhen: 400 m
Die Steigung von 20 % bzw. 11,3° stellt für den Fahrradfahrer schon eine große Herausforderung dar. Ungeübte Radfahrer werden hier sicher ihr Rad schieben.
Gibt die letzte Rechnung wirklich schon die größte Steigung auf der Strecke an?
Am Graphen ist zu erkennen, dass er im betrachteten Intervall [5 km;7 km] nicht linear ansteigt. Es wird in diesem Intervall vermutlich steilere und flachere Anstiege geben.
Noch deutlicher wird das in einem weiteren Beispiel.
Ein PkW benötigt für die Strecke von Rotenburg nach Verden (25 km) 20 min. War der PkW zu schnell?
Die Rechnung liefert eine Geschwindigkeit von 75 km/h. Das ist für die Landstraße nicht zu schnell, aber wie ist es mit den Ortsdurchfahrten. Es wird schnell deutlich, dass die Angaben nicht für eine Geschwindigkeitsmessung taugen. Dafür werden kleinere Messintervalle benötigt.
Bei Geschwindigkeitsmessanlagen (Blitzer) werden u.a. Messpunkte gewählt die möglichst dicht beieinander liegen. Bei den „klassischen Blitzern“ beträgt dieser Abstand Δs 1 m oder weniger. Auf diesem kurzen Abschnitt kann der PkW seine Geschwindigkeit nicht wesentlich ändern.
In der folgenden GeoGebra Animation kann die Position eines beliebigen Punktes variiert werden. Durch einen zweiten Punkt kann ein Steigungsdreieck gelegt werden.
Steigung am Berg
Hillclimb Rachau Highlights 1995-2000
Das folgende Video zeigt einen sehr speziellen Sport, das Hillclimb mit dem Motorrad.
Dem Video sind zwischen Minute 2:00 und 2:30 die folgenden Daten zu entnehmen:
- Länge 175 m
- Steigung: im ersten Teil 36°; im zweiten Teil 45°; am Ende 51°
- bei 100m 45°
Daraus lässt sich die folgende quadratische Gleichung in guter Näherung modellieren. (Zusammenhang Steigung-Winkel)
f(x) = 0,005 · x2
- f(40 m)=18 m; 31°
- f(80 m) = 32 m; 38,6°
- f(100 m) = 50 m; 45°
- f(120 m) =72 m; 50°
- f(126 m) = 80 m; 51,6°
Wie kann die Steigung an verschiedenen Stellen bestimmt werden?
Wie weit kommt ein Motorrad, wenn es eine Maximalsteigung von 45° erreicht?
Die folgende GeoGebra Animation moduliert den Verlauf des Berges. Über die Kontrollkästchen können Tangente am Punkt P0, die Sekante und ein Steigungsdreieck angezeigt werden.
Die Punkte P0 und P1 können längs des Graphen verschoben werden.