Überlagerung von Schwingungen - Schwebung

Schlagwörter: Schwebung, Überlagerung Schwingungen, Frequenz, Schwebungsfrequenz

Bei der Überlagerung von Schwingungen können wir zwischen zwei Fällen unterscheiden. Es überlagern sich zwei Schwingungen mir den Frequenzen f1 und f2.

  1.  f1 = f2
  2.  f1 ≠ f2

zu 1. Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz

Wenn sich zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz mit parallelen Schwingungsvektoren überlagern, dann ist die Resultierende eine harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz.

Sind die Schwingungen gleichphasig, dann addieren sich ihre Amplituden. Erfolgen die Schwingungen nicht in gleicher Phase, dann kann die Resultierende durch eine punktweise Addition der Momentanwerte gewonnen werden. (vgl. GeoGebra Animation).

Zur einfacheren Darstellung wird im Folgenden mit der Kreisfrequenz ω gearbeitet. {\large\omega =2\pi f}

 {\large\displaystyle \begin{array}{l}\Delta \varphi =0\,\,\,\,\,\to \,y={{y}_{1}}+{{y}_{2}}\,={{{\hat{y}}}_{1}}\,\sin \left( \omega t \right)\,+\,{{{\hat{y}}}_{2}}\,\sin \left( \omega t \right)\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\left( {{{\hat{y}}}_{1}}\,+{{{\hat{y}}}_{2}} \right)\,\cdot \sin \left( \omega t \right)\,\\\\\Delta \varphi \ne 0\,\,\,\,\,\to \,y={{y}_{1}}+{{y}_{2}}\,={{{\hat{y}}}_{1}}\,\sin \left( \omega t \right)\,+\,{{{\hat{y}}}_{2}}\,\sin \left( \omega t\,+\Delta \varphi  \right)\end{array}}

zu 2. Überlagerung von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz

Es werden zwei Stimmgabeln angeschlagen. Eine der Stimmgabeln wird mit einem Massestück leicht verstimmt. Die mp-3 Dateien geben die Tonaufnahme verschiedener Frequenzkombinationen wieder.

01 Schwingung f1
02 Schwingung f2
03 Überlagerung f1+f2

Wenn beide Stimmgabeln angeschlagen werden, dann ist ein auf- und abschwellender Ton zu hören. Je nach Differenz der Frequenzen f1 und f2 , kann der Ton als sehr unangenehm empfunden werden. 

In den folgenden Audiodateien wurden jeweils zwei Töne mit den angegebenen Frequenzen überlagert.

f1 = 440 Hz und f2 = 445 Hz

f1 = 440 Hz und f2 = 450 Hz

f1 = 440 Hz und f2 = 460 Hz

f1 = 440 Hz und f2 = 500 Hz

Wenn sich die Frequenzen f1 und f2 nur wenig voneinander unterscheiden, dann nehmen wir einen Ton mit periodischer Amplitude wahr. Bei der resultierenden Frequenz müssen wir zwischen der Frequenz des Tones fres und der der Schwebung fS unterscheiden.  Die Schwebungsfrequenz gibt dabei die Frequenz an, mit der die Lautstärke schwankt.

Die Schwebung ist keine harmonische Schwingung.

{\large  y\,=\,\hat{y}\cdot \sin \left( {{\omega }_{1}}t \right)\,+\,\hat{y}\cdot \sin \left( {{\omega }_{2}}t \right)}

Es liegt hier eine additive Verknüpfung zweier Sinusfunktionen von unterschiedlichen Winkeln vor. Mit Hilfe der Additionstheoreme können wir  diese Gleichung umformen.

{\large  y\,=\,2\hat{y}\,\cos \underbrace{\left( \frac{{{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}}}{2}\cdot t \right)}_{Modulation}\,\cdot \,\sin \underbrace{\left( \frac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2}\cdot t \right)}_{Grundfrequenz} }

resultierende Schwingung

Die resultierende Frequenz fres ist der neue Ton den wir hören, die Grundfrequenz. Sie ergibt sich aus dem Durchschnitt der beiden Ausgangsfrequenzen f1 und f2.

 {\large{{f}_{res}}\,=\frac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{2}\,\,\,\,\,\,bzw.\,\,\,\,\,{{\omega }_{res}}=\frac{{{\omega }_{1}}+{{\omega }_{2}}}{2}   }

Schwebungsfrequenz

Die Amplitude der resultierenden Schwingung hat die Frequenz fmod, die Modulationsfrequenz.

{\large {{f}_{mod}}=\frac{{{f}_{1}}-{{f}_{2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,bzw.\,\,\,\,\,{{\omega }_{mod}}=\frac{{{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}}}{2}  }

Frequenz der Einhüllenden

Die resultierende Schwingung zeigt zwei Sinusschwingungen auf. Die erste Schwingung ist die Grundschwingung mit der Frequenz fres. Aber auch über die Amplituden dieser Schwingung können wir eine Sinusschwingung legen (vgl. GeoGebra Animation – Einhüllende).  Die Frequenz der Einhüllenden fE ergibt sich aus dem Betrag der Differenzen beider Schwingungen.

{\large {{f}_{E}}=\,\left| {{f}_{1}}-{{f}_{2}} \right|\,\,\,\,\,\,\,bzw.\,\,\,\,\,\,{{\omega }_{E}}=\left| {{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}} \right| }

GeoGebra

Experimente für zu Hause

Mit zwei Smartphonen und einer geeigneten App kannst du selber Schwebungen erzeugen. Wähle dafür die Funktion Tongenerator und stelle dann die gewünschte Frequenz (Signalform Sinus) ein. 

Mit einem dritten Smartphone kannst du die Überlagerung der Frequenzen darstellen, oder in der Spektrum Analyse die einzelnen Frequenzen anzeigen lassen.

  • phyphox (iOS und android)
  • bs-Spektrum (android)
  • Advanced Spectrum (android)
  • Function Generator (android)
  • Oscilloscope (iOS)

… und viele mehr.