Additionstheoreme der Trigonometrie
Schlagwörter: Additionstheoreme, Winkelfunktionen, Umstellen, Summen, Differenzen, Sinus, Kosinus
Additionstheoreme stellen eine Hilfe beim Umstellen von Winkelfunktionen dar, die als Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten vorliegen. Sie geben die Beziehungen der Winkelfunktionen zueinander an. Oder kurz: Additionstheoreme können bei der Umformung von Winkelfunktionen helfen.
Es gibt sehr viele Additionstheoreme. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind hier nur die am häufigsten genutzten Additionstheoreme dargestellt.
{\large \begin{array}{l}{{\sin }^{2}}\alpha \,+\,{{\cos }^{2}}\alpha \,=1\,\,\,\,\,\,\,(trigonometrischer\,\,Pythagoras)\\\\\tan \alpha \,=\frac{\sin \,\alpha }{\cos \,\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cot \alpha \,=\frac{\cos \,\alpha }{\sin \,\alpha }\end{array} }
Summen und Differenzen
Winkelfunktionen aus der Summe/Differenz zweier Winkel
{\large \begin{array}{l}\sin \left( \alpha \pm \beta \right)\,=\,\sin \alpha \cdot \cos \beta \,\pm \,\cos \alpha \cdot \sin \beta \\\\\cos \left( \alpha \pm \beta \right)\,=\,\cos \alpha \cdot \cos \beta \,\mp \,\sin \alpha \cdot \sin \beta \\\\\tan \left( \alpha \pm \beta \right)\,=\,\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \,\tan \alpha \cdot \tan \beta }\end{array} }
Summen/Differenzen aus zwei Winkelfunktionen
{\large\begin{array}{l}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)\\\\\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)\cdot \sin \left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)\\\\\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)\\\\\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)\cdot \sin \left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)\\\\\tan \alpha \pm \tan \beta =\frac{\sin \left( \alpha \pm \beta \right)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta }\end{array} }
Produkte von Winkelfunktionen
{\large\displaystyle \begin{array}{l}\sin \left( 2\alpha \right)=2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \\\\\cos \left( 2\alpha \right)={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \\\\\tan \left( 2\alpha \right)=\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }\\\\\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha -\beta \right)-\cos \left( \alpha +\beta \right) \right]\\\\\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha -\beta \right)-\cos \left( \alpha +\beta \right) \right]\\\\\tan \alpha \cdot \tan \beta =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{\cot \alpha +\cot \beta }\end{array} }