Graphen hilfsmittelfei skizzieren

Schlagwörter: Graphen hilfsmittelfrei Skizzieren, Hilfsmittel frei, qualitative Darstellung, Nullstelle NST

Häufig ist es erforderlich, sich zunächst einen Überblick über den qualitativen Verlauf eines Graphen zu machen. Im Folgenden soll es darum gehen, wie Graphen ohne Wertetabelle und ohne Einsatz von PC oder GTR skizziert werden können. Basis dabei werden die Nullstellen und das Verhalten des Graphen für sehr große oder sehr kleine x-Werte sein. 

Beispiel 1: ganzrationale Funktion 2. Grades

f(x) = x2 +2x -3

Über die pq-Formel oder die quadratische Ergänzung können die NSTs gefunden werden:

x01 = -3 und x02 = 1

                Linearfaktordarstellung: f(x) = (x-1)·(x+3)

Beide NSTs sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse an diesen Stellen. (Vorzeichenwechsel der Funktionswerte)

  1. Die Nullstellen werden markiert. →senkrechte Linien einzeichnen
  2. Wie verläuft der Graph außerhalb der Nullstellen? Wenn wir für x große Werte einsetzen (x>1) oder auch sehr viel größer), dann ist f(x)>0. Da x quadratisch in die Rechnung eingeht, wird der Funktionswert für größer werdende Werte von x auch sehr stark anwachsen. Für x>1 können keine negativen Funktionswerte angenommen werden. Die Fläche unterhalb der x-Achse wird in diesem Abschnitt ausgeschlossen. (blaue Schraffur)

Wenn x<(-3), dann werden die Funktionswerte positiv sein. Da x quadratisch in die Rechnung eingeht. Die Fläche unterhalb der x-Achse wird in diesem Abschnitt ausgeschlossen. (grüne Schraffur)

  1. Da der Graph an den Nullstellen die x-Achse schneidet, liegt hier ein Vorzeichenwechsel vor. Die Funktion kann im Intervall zwischen den Nullstellen nur negative Werte annehmen. Die Fläche zwischen den Nullstellen oberhalb der x-Achse kann ausgeschlossen werden. (rote Schraffur)
  2. Jetzt kann der qualitative Verlauf des Graphen skizziert werden.

Beispiel 2: ganzrationale Funktion 4. Grades

f(x) = (x-2)2·(x-3)·x

Da die Funktion als Linearkombination gegeben ist, können wir die Nullstellen direkt ablesen:

Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

x01,2 = 2 und x03 = 3 und x04 = 0

Bei der NST x01,2 = 2 handelt es sich um eine doppelte Nullstelle. Hier berührt der Graph die x-Achse. Es kommt zu keinem Vorzeichenwechsel.

x03 und x04 sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse an diesen Stellen. Vorzeichenwechsel der Funktionswerte

  1. Die doppelte NST wird markiert (2 Halbkreise). Es wird keine senkrechte Linie gezeichnet, da hier kein Vorzeichenwechsel vorliegt.
  2. Die Nullstellen bei x03=3 und x04=0 werden markiert. →senkrechte Linien einzeichnen
  1. Wie verläuft der Graph für x>3?

Für x>3 ist (x-3) > 0. Das gilt auch für die beiden anderen Faktoren. Die Funktion nimmt für x>3  ausschließlich positive Werte an.

(+)·(+)·(+) = (+)

Die Fläche unterhalb der x-Achse wird in diesem Abschnitt ausgeschlossen. (blaue Schraffur)

  1. Bei x=2 hat der Graph eine Berührstelle, d.h. es liegt kein Vorzeichenwechsel vor. Die nächste Schnittstelle hat der Graph erste bei x=0. Also nimmt in diesem Intervall (0 bis 3) der Wert keine positiven Werte an. Die Fläche oberhalb der x-Achse wird in diesem Abschnitt ausgeschlossen. (rote Schraffur)
  2. Die nächste einfache Nullstelle (Vorzeichenwechsel) liegt bei x=0.

Für Werte x<0:

{\large \begin{array}{l}1.\,Faktor\,{{(x-2)}^{2\,}}\,\,>0\,\,\,\left( + \right)\\2.\,Faktor\,(x-3)\,\,\,\,\,<0\,\,\,\left( – \right)\\3.\,Faktor\,\,\,(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<0\,\,\,\left( – \right)\\\left( + \right)\cdot \left( – \right)\cdot \left( – \right)\,=\,\left( + \right)\end{array}}

→Die Fläche unterhalb der x-Achse wird in diesem Abschnitt ausgeschlossen. (grüne Schraffur)

6. Jetzt kann der qualitative Verlauf des Graphen skizziert werden.