heisenberg Unschaerfe

Die HEISENBERGsche Unschärferelation

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Vorbetrachtungen zur Unschärferelation

Wir haben festgestellt, dass wir über die Bewegung von Photonen und Elektronen im Raum nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen können. Dann stellt sich die Frage:

Um diese Frage zu klären, werden wir für einige Teilchen den Ort und die Geschwindigkeit ermitteln, um später zu überprüfen, ob sich die Teilchen dahin bewegen, wo sie nach NEWTON sein müssten.

Schritte zur Lösung

Werner Heisenberg untersuchte 1927 das Problem und (Achtung Spoiler), er fand eine Antwort.

Heisenberg Unschärfe
01 Modellvorstellung zur Unschärferelation

Ein Elektronenstrahl trifft auf einen Spalt der Breite d.

  • Je schmaler der Spalt, also je kleiner d, desto stärker wird der Elektronenstrahl gebeugt.
  • Je genauer der momentane Ort x0 bestimmt wird (durch Verkleinerung von d), desto stärker wird der Strahl gebeugt. Wir können als weniger genaue Aussagen zur Bewegungsrichtung machen.

Um die Überlegungen, die Heisenberg zu den Elektronen anstellte, auch auf Licht übertragen zu können, wählte er statt der Geschwindigkeit, den Impuls.

Der Impuls p ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.

{\large p = m \cdot v }

►01 zeigt, dass es unmöglich ist, einem Quantenobjekt gleichzeitig einen exakt bestimmten Ort und einen exakt bestimmten Impuls zuzuordnen. Oder anders ausgedrückt:

Je genauer wir den momentanen Ort eines Körpers kennen (Spaltbreite d), desto weniger genau können wir seine Bewegungsrichtung vorhersagen.

Mathematische Formulierung der Unschärfe

Für das Minimum 1. Ordnung der Beugungsfigur gilt:

{\large \sin \left( \alpha  \right)=\frac{\Delta {{p}_{x}}}{p} }

Die Spaltbreite d bestimmt unsere Ortsunschärfe, also gilt: d=Δx

Am Spalt erkennen wir:

{\large   \left. \begin{array}{l}\frac{\lambda }{\Delta x}=\frac{\Delta {{p}_{x}}}{p}\\\\nach\,\,deBroglie:\,\,\lambda =\frac{h}{p}\end{array} \right\}\,\,\frac{h}{\Delta x\cdot p}=\frac{\Delta {{p}_{x}}}{p}\,\,\Leftrightarrow h=\Delta {{p}_{x}}\cdot \Delta x}

Heisenberg Unschärfe

Da die Genauigkeit vermutlich kleiner sein wird als der theoretische Wert, ersetzen wir das „Gleichheitszeichen“ durch ein „Kleinergleich“.

{\huge  h\le \Delta {{p}_{x}}\cdot \Delta x  }

Das wirkt erst mal etwas befremdlich. Heisenberg selber soll in seiner Rede zum Nobelpreis gesagt haben:

„Ich habe die Theorie mit dem Kopf, aber noch nicht mit dem Herzen verstanden.“

Der Tod des LAPLACEschen Dämons

Die Heisenbergsche Unschärferelation war gleichzeitig der Todesstoß für den Laplaceschen Dämon.

Der Laplacesche Dämon war ein philosophisches Konstrukt. Der Dämon beschreibt einen Geist mit unerschöpflicher Speicherkapazität. 

„… Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als die Wirkung seines frühren und als die Ursache des folgenden Zustands betrachten. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle in der Natur wirkenden Kräfte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente kennt und überdies umfassend genug wäre, um diese gegebenen Größen der Analysis zu unterwerfen, würde in derselben Formel die Bewegungen der größten Weltkörper wie des leichtesten Atoms umschließen; nichts würde ihr ungewiss sein und die Zukunft und die Vergangenheit würden ihr offen vor Augen liegen. “ // “Kulturgeschichte der Physik“, K. Siomniy, Urania, Leipzig

Oder in einfach: Wenn dieser Geist alle Zustände der Gegenwart kennt, so ist es ihm möglich, die Vergangenheit zu beschreiben und die Zukunft vorherzusagen.

Pierre Simon Laplace ging also von einem Determinismus aus, der den für die Naturphilosophen des 19. Jahrhunderts typisch war. Auch heute noch ist die Vorstellung der Vorhersagbarkeit verbreitet.

Der Laplacesche Dämon wäre mathematisch betrachtet eine Weltformel, die alles Vergangene rekonstruieren und alle Zukünftige vorhersagen könnte.

Nach Heisenberg wurde klar, dass das Problem des Laplaceschen Dämons nicht die Schlussfolgerung, also die Vorhersage war, sondern schon die Voraussetzung, die Kenntnis aller Gegenwartszustände ist.

Nach der Unschärferelation kann einem beliebigen Teilchen nicht gleichzeitig eine genauer Ort und ein exakter Impuls zugeordnet werden.

{\huge  h\le \Delta {{p}_{x}}\cdot \Delta x  }

Das war der endgültige Todesstoß für den Laplaceschen Dämon.