Beugung am Spalt

Die Beugung am Einfachspalt spielt im Unterricht eine geringe Rolle. Sie ist auch etwas schwerer zu verstehen, als die Beugung am Doppelspalt. Daher sollte man sich erst mit der Beugung am Doppelspalt auseinandersetzen. Die folgenden Beschreibungen setzen die Kenntnisse am Doppelspalt voraus.

Auch hinter einem einzelnen Spalt können wir Beugungserscheinungen beobachten. 

Aber warum, was interferiert hier?

Nach HUYGENS kann jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle betrachtet werden.  Daher können wir zwischen den Spaltöffnungen beliebig viele Einzelstrahlen einzeichnen.

01 Elementarwellen nach HUYGENS

Auf den ersten Blick unterscheidet sich die Darstellung kaum von der Beugung am Doppelspalt.

Wir gehen davon aus, dass der Gangunterschied δ genau der Wellenlänge λ entspricht.

02 Gangunterschied

Wenn der Gangunterschied zwischen Strahl 1 und 10 einer Wellenlänge entspricht, dann ist der Gangunterschied zwischen Strahl 5 und 10 λ/2

Das lässt sich für die Strahlenpaare

  • 9 und 4,
  • 8 und 3,
  • 7 und 2 sowie
  • 6 und 1 fortsetzen.

Diese Paare interferieren also jeweils destruktiv miteinander. Es kommt also zur Auslöschung.

03 destruktive Interferenz

Die Geometrie am Spalt zeigt, dass:

{\large \sin \left( \alpha \right)\,=\,\frac{\delta }{b}}

Am Einzelspalt gilt: Wenn der Gangunterschied zwischen den Randstrahlen genau eine Wellenlänge beträgt, dann kommt es zu destruktiven Interferenz.

Minima: { \large \sin \left( {{\alpha }_{\min }} \right)\,=\,\frac{n\cdot \lambda }{b}}

Maxima: { \large \sin \left( {{\alpha }_{\max }} \right)\,=\,\frac{\left( 2n+1 \right)}{2}\cdot \frac{\lambda }{b}}

Eine Animation, die auch weitere Maxima und Minima verdeutlicht findet ihr hier.

Beugung am Spalt - Aufbau
04 Beugung am Spalt - Aufbau

Messungen – Beispiele

Die folgende Messung wurde an einem Spalt der Breite b=0,35 mm aufgenommen. Der Schirm befand sich in einem Abstand von a=72 cm zum Schirm. Die Wellenlänge des LASERs betrug λ=532 nm.

Dem Bild ist zu entnehmen, dass der Abstand des 5. Maximums bei ca. d5=6 mm liegt.

Zum rechnerischen Nachweis

Beugung am Spalt
05 Beugung am Einfachspalt

Wir wissen, dass sich die Maxima am Spalt der folgenden Bedingung genügen:

{\large \sin \left( {{\alpha }_{\max }} \right)\,=\,\frac{\left( 2n+1 \right)}{2}\cdot \frac{\lambda }{b} }

Weiter wissen wir, dass

{\large \tan \left( {{\alpha }_{\max }} \right)\,=\,\frac{{{d}_{n}}}{a} }

Bei den hier betrachteten Winkeln gilt die Kleinwinkelnäherung, da α<<10°. Es gilt also:

{\large  \begin{array}{l}\sin \left( \alpha  \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\approx \,\,\,\,\,\tan \left( \alpha  \right)\\\frac{\left( 2n+1 \right)}{2}\cdot \frac{\lambda }{b}\,\approx \,\frac{{{d}_{n}}}{a}\end{array}}

Für den Abstand des n-ten Maximums ergibt sich:

{\large  {{d}_{n}}=\frac{\left( 2n+1 \right)}{2}\cdot \frac{\lambda \cdot a}{b}  }