Umkehrfunktion

Schlagwörter: Funktion, Umkehrfunktion, Zuordnung, Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, Auflösen, Variablen

Wir wissen bereits was eine Funktion  ist.

Manchmal ist es aber auch erforderlich, aus einem Funktionswert y(x) auf das Argument, den x-Wert zu schließen. Dann muss die Funktion „umgekehrt“ werden. Es wird also die Umkehrfunktion gesucht.

Beispiele

Beispiel 1:

Der Wechselkurs vom Euro zu US$ ist bekannt, ich kann also schnell berechnen, wie viel US$ ich für 1 € bekomme. Wie kann ich einen Preis in US$ in Euro umrechnen? Dazu benötige ich die Umkehrfunktion.

Wechselkurs: 1 € = 1,18 US$

Beispiel 2:

Ein quadratisches Grundstück hat den Flächeninhalt 625 m2. Bestimme die Länge der Grundstückseiten.

{\large \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,{{a}^{2}}\\\,\,\,625\,{{m}^{2}}\,\,=\,{{a}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| \sqrt{{}} \right.\\\sqrt{625\,{{m}^{2}}}\,=\,25\,m\end{array}}

Schon hier wird deutlich, dass die Lösung mathematisch betrachtet nicht eindeutig ist. Die Gleichung  { 625\,=\,{{a}^{2}}} hat zwei Lösungen, a1=25 und a2=-25.

Die Funktion ist nicht über den gesamten Definitionsbereich umkehrbar. Das wird auch weiter unten, bei der graphischen Lösung noch einmal besonders gut deutlich. Um die Funktion umzukehren, müssen wir den Definitionsbereich einschränken.

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn die Zuordnung  eineindeutige ist.

… oder eine andere Formulierung:

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.

Lösungsmöglichkeiten zur Umkehrfunktion

Dazu gibt es verschiedene Ansätze:

  1. Vertauschen der Variablen

Schritte:

  • Ausgangsgleichung notieren
  • Vertauschen der Variablen x ↔ y
  • Auflösen nach y

Beispiel 1 – lineare Funktion y = f(x) =  3x+2

{\large \displaystyle \begin{array}{l}Ausgangsgleichung\,\,notieren\,\,\,\,f(x)\,=\,y\,=\,3x\,+\,2\\\\Vertauschen\,\,der\,\,Variablen\,\,\,\,\,\,\,\,x\,=\,3y\,+2\\\\nach\,\,y\,\,aufl\ddot{o}sen\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x-2\,=\,3y\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x-2}{3}\,=\,y\\\\{{f}^{-1}}(x)\,=\,\frac{x-2}{3}\end{array}}

Beispiel 2 – quadratische Funktion

{\large \displaystyle \begin{array}{l}Ausgangsgleichung\,\,notieren\,\,\,\,\,\,f(x)\,\,=\,y\,=\,{{x}^{2}}\\\\Vertauschen\,\,der\,\,Variablen\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,=\,{{y}^{2}}\\\\nach\,\,y\,\,aufl\ddot{o}sen\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{x}\,=\,y\\ \small die\,\,Wurzel\,\,kann\,\,nur\,\,aus\,\,nichtnegativen\\\small Zahlen\,\,gezogen\,\,werden;\,\,DB:\,x\ge \,0\\\\\end{array}}

{\large \displaystyle \begin{array}{l}\\{{f}^{-1}}(x)\,=\,\sqrt{x}\,\,\,\,;x\ge 0\end{array}}

2. graphische Lösung

… folgt